2025年上海市嘉定区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市嘉定区高三二模数学试卷和参考答案，共10页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1.已知集合，集合，则___________.
2.不等式的解集为___________.
3.已知向量,，若，则_________.
4.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为. 若，则的取值范围为______.
5.在的二项展开式中，常数项的值为_________.
6.已知，若，则___________.
7.直线与圆 相交所得的弦长为______.
8.已知复数,满足，，，则的值为________.
9.在由1、2、3、4、5 这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为_______.
10.已知某次数学的测试成绩服从、的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______的学生（精确到）.
(参考数据：，，)
11.某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为立方米的球形景观灯所在球面上. 考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度需满足. 当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为__________米（精确到0.01米）.
12.在平面直角坐标系中，一质点从原点出发，第一次从点移动到点，第二次从点移动到点，…,第次从点（规定）移动到点. 记向量，其模长为，方向与轴正方向绕原点逆时针旋转同向. 设为经过次移动的位移向量，即，则当 时，的值为____________.
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知实数满足，则下列不等式中，不恒成立的是（ ）.
A. B. C. D.
14.已知平面和平面，直线，直线，则下列结论一定成立的是（ ）.
A. 若，则 B. 若与为异面直线，则
C. 若，则 D. 若，则
15.已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
16.设数列满足，记其前项和为，前项积为.则下列结论正确的是（ ）.
A. 数列和数列均不是周期数列
B. 数列是周期数列，数列不是周期数列
C. 数列不是周期数列，数列是周期数列
D. 数列和数列均为周期数列

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，，.
（1）若，证明：；
（2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积.
18.(本题满分14分,共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知函数，其中，为实常数且.
（1）若为偶函数，且其最小值为，求实数与的值；
（2）若，，对任意实数均满足，求实数的取值范围.
19. (本题满分14分,共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分)
某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率；
(3)已知该校喜欢阅读的学生占比为，初一年级学生占该校总学生数的，且初一年级学生中喜欢阅读的占，求其他年级学生中喜欢阅读的比例.（精确到）
20．（本题满分18分,共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分）
已知椭圆.为椭圆的右焦点,过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点，点为椭圆上任意一点.
（1）求的最小值；
（2）当直线的斜率为时，求△面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若直线与直线交于点，点不在轴上，关于原点的对称点为点，直线与交于点，求线段的取值范围.
21．（本题满分18分,共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分）
已知函数，其中，定义集合 .对于点，定义集合.若对任意，均有,则称点为平衡点.
（1）当时，判断点是否为平衡点；
（2）当时，求实数的取值范围，使得点是平衡点；
（3）求所有实数和，使得点是平衡点.
嘉定区2024学年高三年级第二次学业质量调研测试
数学参考答案 2025.3
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．；2．；
3．； 4．；
5．； 6．；
7．； 8．；
9. ； 10. ；
11．；12. .
二.选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. ；14. ； 15． ；16. .
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解（1）证明 因为平面，平面，,所以分
又因为，所以， 从而分
因为，平面,所以，分
因此平面，分
又因为，分
(2)由题设知，三角形为直角三角形，由勾股定理，三角形是直角三角形，同理三角形是直角三角形.
三棱锥为鳖臑分
三棱锥的体积为分
三棱锥的表面积为
分
注：由题意可知：本题中点均已固定，而可以在平面游动，本题只有一个鳖臑.
18.(本题满分14分,共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
解 （1）已知为偶函数，则，
，所以，即对任意恒成立.
因为不恒为，所以，则分
又因为（当且仅当，即时等号成立）.
因为，所以，又的最小值为，所以且，即解得. 分
所以,分
（2）当时，，已知恒成立，即恒成立.即恒成立分
接下来求的最大值.
设，则分
所以在处取得最大值，分
因为恒成立，所以，即实数的取值范围是.
分
19. (本题满分14分,共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分)
解 （1）估计该校学生的平均课外阅读时间.
设各区间的中点值分别为，频率/组距为，组距为（）.
平均课外阅读时间.
假设频率分布直方图中各区间，,,，，对应的频率/组距分别为分
各区间中点值分别为，，，，，.
则
（小时/月）分
(2）估计该校学生课外阅读时间位于区间的概率.
根据频率分布直方图的性质，区间的概率等于频率/组距与组距的乘积之和.
分
(3)设其他年级学生中喜欢阅读的比例为.
记事件为“任选1人是初一年级学生”，事件为“任选1人是喜欢阅读的学生”分
根据全概率公式：分
代入已知数据：.
解得： 分
20．（本题满分18分,共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分）
解（1）椭圆的标准方程为，故长半轴，短半轴，焦距，右焦点 的坐标为 . 分
椭圆上任意一点到右焦点的距离的最小值为右顶点到右焦点的距离：
分
（2）直线的方程为，代入椭圆方程：得.解得或，分别对应点和点.
则分
方法一 设直线与椭圆相切，将其代入椭圆方程,
此时，，得，
取距离更远的切线，其与的距离为：
将代入椭圆方程，解得切点为分
面积最大值分
所以面积最大值为，点坐标为
方法二 设点的坐标为 .点到直线的距离为：.
当时，取到最大值,分
可得面积最大值分
此时,则，，
因此点坐标：分
所以面积最大值为，点坐标为.
（3）方法一：
设点 满足椭圆方程，由题意，则对称点
直线的方程为：，时，故
分
直线的方程为：，当时，故
分
所以 由椭圆方程 ，代入分母分
由题意，所以分
方法二：参数方程法
设椭圆上点，其关于原点的对称点.
所以直线的方程为：,
当 时，，因此，分
直线的方程为：,当 时，
因此，分

分
因为，所以分
21．（本题满分18分,共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分）
解 （1）当时,此时函数为，
集合中的点满足，即 分
当时，，因此 恒成立分
故点是平衡点.
（2）函数,集合对应的范围为,分
对任意，有.即：,分
所以 综上，的取值范围为. 分
（3）函数为，对任意，有分
= 1 \* GB3 ① 若，即 时，顶点值为 ,
所以.
当时，最大值为，需,
此时，因此有，计算可得.
当时，最大值为，需.
此时,因此有，计算可得. 分
= 2 \* GB3 ② 当，即时：
时，在为严格增函数，又因为、，所以 又因为与不等式组矛盾，所以不等式组无解.
时，在为严格减函数，又因为、，所以 又因为
与不等式组矛盾，所以不等式组无解.
所以使得点是平衡点，则分
分
ℎ'x
+
0
−
ℎ(x)
↗
极大值
↘