陕西省西安市西咸新区秦汉中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市西咸新区秦汉中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，中，，，和的平分线交于点P，过点P作分别交，于点D，E，则的周长为（ ）
A．不能确定B．10C．12D．14
3．在平面直角坐标系中，若A，两点的坐标分别是，，将点向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点A与点（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．以上都不对
4．已知锐角三角形中，，点是、垂直平分线的交点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（ ）个
①；②；③；④．
A．4B．3C．2D．1
6．关于二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，将点落在点处，如果，那么线段的长为( )
A．1B．C．D．
10．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题）
11．“的倍与的和不小于”可以用不等式表示为 ．
12．如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为
13．如图，已知，过的中点作另一边的垂线，垂足为点，连接，作的垂直平分线交的延长线于点，连接，作，垂足为点，则的长为 ．
14．已知是以为腰的等腰三角形，D为线段上一点，且，若恰好为一边的，则的大小为 ．
15．对于任意实数p、q，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是 ．
16．已知等边的边长为12， 点P是边 BC上的动点， 将绕点A 逆时针旋转60°得到， 点D是AC边的中点， 连接PQ、DQ， 则DQ的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
18．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
19．平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中画出绕原点顺时针旋转后的，并写出点的坐标．
(2)在图中画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标．
20．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接．求的长．
21．定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值．
22．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人．
(1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人；
(2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱．
24．如图在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，，且，将点向右平移个单位长度，得到对应点．
(1)求的面积；
(2)若点为轴上的一个动点，是否存在点，使的面积等于面积的倍，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．问题：如图（）点、分别在正方形的边、上，，试判断、、之间的数量关系．
【发现证明】小聪把绕点逆时针旋转，至，从而发现，请你利用图（）证明上述结论．
【类比引申】如图（），四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足 关系时，仍有．
【探究应用】如图（），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路、上分别有景点、，且，米，现要在、之间修一条笔直道路，求这条道路的长（结果保留根号）
参考答案
1．【答案】D
【详解】、不是中心对称图形，该选项不合题意；
、不是中心对称图形，该选项不合题意；
、不是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
故选．
2．【答案】D
【分析】根据两直线平行,内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可．
【详解】解：∵和的平分线交于点P，，
∴，，
∴，
∴的周长为，
∵，
∴的周长为，
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】先将向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点写出来，然后根据对称规律作出判断即可．
【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，
∴点C坐标为，
∵，
∴点A，C关于原点轴对称．
故选C．
4．【答案】A
【分析】连接OA、OB，由，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=115°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
解：如图，连接OA、OB，
∵∠BAC=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=65°，
∴∠OBC+∠OCB=115°-65°=50°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=25°，
故选A．
5．【答案】C
【分析】根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③．
【详解】解：∵
∴最大的，故①不符合题意；
∵，
∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意；
∵，
∴，
∴，则该是直角三角形，故③符合题意；
∵，
∴，则该是直角三角形，故④符合题意；
故选C．
6．【答案】A
【分析】将两个方程相加得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可．
【详解】解：，
，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故选A．
7．【答案】D
【分析】利用图象法，根据函数图象求解即可．
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
∴由图象可得：的解集为：，
由的图象可得：的解集为：，
∴当时的取值范围是．
故选D．
8．【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．
【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，
这箱苹果共个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故选C．
9．【答案】D
【分析】根据翻折变换的性质可得，，，连接，可得是等腰直角三角形，然后求出，从而得到，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理列式求出，然后根据计算得到，即为的长．
【详解】解：沿直线翻折后点落在点处，
，，，
连接，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，，
，

，
即．
故选D．
10．【答案】D
【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；
②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解】解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC=DB+DA．故④正确；
故选D．
11．【答案】
【分析】根据字母表示数及数量关系的书写规则，不等式的概念即可求解．
【详解】解：根据题意得，
12．【答案】（4，2）
【分析】根据A、B两点的坐标可得坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，再把C点的坐标横坐标加3，纵坐标加2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC平移，使点B落在点A处，点A（1，2），B（﹣2，0），
∴坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，
∵C（1，0），
∴点C的对应点的坐标为是（1+3，0+2），即（4，2）．
13．【答案】2
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求得，线段垂直平分线的性质求得，再利用证明即可求解．
【详解】解：作于，
∵，
∴，
∵的垂直平分线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴．
14．【答案】或或
【分析】分四种情况讨论，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：如图，当，时，取的中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
当，时，
同理，；
当，时，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
综上，的大小为或或．
15．【答案】
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得
16．【答案】
【分析】对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质，即可得到，当时，的长最小，再根据勾股定理，即可得到的最小值．
【详解】解：∵等边的边长为12，
∴，
由旋转可得，
又∵
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
当时，的长最小，此时，，
∴，
∴．
∴的最小值是．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤解答即可；
（）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解；
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
（2）解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为．
18．【答案】，它的所有整数解的和为3.
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后得出它的所有整数解，由此即可得．
【详解】解：，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
则不等式组的解集为，
它的所有整数解为，
所以它的所有整数解的和为．
19．【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】（1）根据旋转的性质作图，再根据图形写出坐标即可；
（2）根据中心对称的性质作图，再根据图形写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作，点的坐标；
（2）解：如图，即为所求作，点的坐标为．
20．【答案】
【分析】由旋转的性质可求得，的长和的大小，由勾股定理可求得的长，进而可求得的长，再次利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：由旋转的性质可知：
，，，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
．
21．【答案】
【分析】解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵该不等式组的解集是一个“对称集”，
∴，
解得．
22．【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）连接，，由线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据角平分线的性质可得，，证明，得到，推出，结合，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，
垂直平分，
，
，，平分，
，，
，
；
（2），，平分，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
．
23．【答案】(1)每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人；
(2)共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱．
【分析】（1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可得出的值，进而得出租车方案和费用即可．
【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，
则，解得：，
答：每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人；
（2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆，
则，
解得：，
的可能取值为5、6、7、8，
当时，，租车费用为元；
当时，，租车费用为元；
当时，，租车费用为元；
当时，，租车费用为元；
共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱．
24．【答案】(1)
(2)存在点或，使的面积等于面积的倍
【分析】（）利用非负数的性质求出点的坐标，进而可得的长度及点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
（）设点的坐标为，分点位于点左侧，点位于之间，点位于点右侧三种情况，根据面积关系分别列出方程解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：存在点或，使的面积等于面积的倍，理由如下：
设点的坐标为，
当点位于点左侧时，，不合题意；
当点位于之间时，
，，
∵的面积等于面积的倍，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当点位于点右侧时，
，，
∵的面积等于面积的倍，
∴
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
25．【答案】发现证明：证明解析；类比引申：；探究应用：米
【分析】发现证明：由旋转可得，，， 即可得，即可证，得到，进而即可求证；
类比引申：延长至，使，连接， 可证，得到，， 进而由可得，即可证明，得到，即可求证；
探究应用：把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形， 即得，由旋转的性质得，，得到，点在的延长线上，为等边三角形，解直角三角形可得米，进而得，可得，得到，即得，据此计算即可求解．
【详解】发现证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
类比引申：当时，仍有，理由如下：
如图（），延长至，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
故答案是：；
探究应用：如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴米，
由旋转的性质得，，，
∵，
∴，即点在的延长线上，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，，
∴米，米，
∴米，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，
即这条道路的长为米．