陕西省咸阳市秦都区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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八年级数学试题（卷）（北师大版）
老师真诚地提醒你：
1．本试卷共6页，满分120分；
2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；
3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式得解集，在数轴上表示不等式得解集时，要用实心圆点表示，，要用空心圆点表示；向右画；向左画；据此求解即可．
【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为：
故选：B．
3. 在中，，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
故选：B．
4. 已知，下列不等式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由可得，原不等式成立，不符合题意；
B、由可得，原不等式成立，不符合题意；
C、由可得，原不等不式成立，符合题意；
D、由可得，原不等式成立，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，是等边三角形，E为上一点，在上取一点D，使，且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形内角和定理；根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴
∴
∵是等边三角形，
∴
故选：C．
6. 如图，是的角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长为（ ）
A. 5B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质定理得出，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买不倒翁x件，则购买折扇件，根据购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件得到，根据购买这两种商品的总费用少于560元得到，据此可得答案．
【详解】解：设购买不倒翁x件，则购买折扇件，
由题意得，，
故选：A．
8. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连接，，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角内角和定理，如图所示，连接，由线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角推出，进而根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵边，的垂直平分线交于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．

第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 不等式的正整数解有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查不等式的解法．根据题意，先移项解出不等式，再求其正整数解即可．
【详解】解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
其正整数解为：1，2
所有其正整数解的个数为：2．
故答案为：2．
10. 如图，将沿方向平移后得到，若，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质得到，根据题意计算即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，
∵平移的距离为3
，
，
故答案为：8．
11. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______．
【答案】AB=DC
【解析】
【分析】根据直角三角形全等的判定定理HL即可推出答案．
【详解】解：添加条件是AB=CD．
理由是：∵∠A=∠D=90，AB=CD，BC=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：AB=CD．
12. 关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集， 再根据不等式组的解集得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，平分，于点D，交于点E，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，根据，平分，可证，根据等角对等边可得，根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，进而可得．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
15. 将“与6的和不小于2”用不等式表示出来，并求出这个不等式的解集．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了根据题意列出不等式，求一元一次不等式的解集，其中充分理解题意列出正确的不等式是解题的关键．
根据题意可以列出不等式，运用不等式的性质，解一元一次不等式．
【详解】解：用不等式表示为．
解不等式，
移项、合并同类项，得，
不等式两边都除以2，得．
16. 如图，，，，求证：是等边三角形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据平行线的性质和得到，然后根据三角形内角和定理得到，即可证明出是等边三角形．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】此题考查了平行线的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
17. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在上求作一点P，使得点P到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，如图所示，作的角平分线交于P，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，作的角平分线交于P，点P即为所求；
由角平分线的性质可得点P到的距离等于．

18. 如图，在中，，点D在边上，将经过旋转后与重合．
（1）这一旋转的旋转中心是点______；
（2）旋转角是多少度？
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质∶
（1）根据旋转前后点A与自身重合可知点A为旋转中心；
（2）根据旋转的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得，据此可得答案．
【小问1详解】
解：∵将经过旋转后与重合，
∴旋转中心即为点A，
故答案为：A；
【小问2详解】
解：经过旋转后与重合，
，
，
，
，
，
旋转角是．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，．
（1）画出向右平移5格后的图形；
（2）画出关于原点中心对称的图形．
【答案】（1）如图所示；
（2）如图所示．
【解析】
【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（1）利用平移的性质和格点的特征分别画出点、、 的对应点、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出的对应点、、然后描点即可．
【小问1详解】
如图，△为所作，
【小问2详解】
如图，△为所作；
20. 如图，已知，于点D，，的周长为20，求的周长．
【答案】32
【解析】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据三线合一定理得到，再由三角形周长公式得到，进一步可得，的周长．
【详解】解：在中，，于点D，
是的中线，
．
的周长为20，
，
周长．
21. 如图，在中，，平分，于点．求证：直线是线段的垂直平分线．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由于，得，证，得到，，即得证．
【详解】解：证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即直线是线段的垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握垂直平分线的判定：到线段两端相等的点在线段的垂直平分线上．
22. “双减”政策减轻了学生课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐，为了满足学生课外活动的需要，篮球社团需要采购一批篮球运动装备，已知每个篮球原价为90元，每套队服原价为150元．甲、乙两家网店均提供包邮服务，并且给出了各自的优惠方案，具体如下．
该篮球社团需要购买30套队服和个篮球，选择哪个网店购买比较合算？
【答案】当购买15个篮球时，选择这两家网店所需要的费用相同；当购买的篮球数时，选择甲网店购买比较合算；当购买的篮球数大于15个时，选择乙网店比较合算．
【解析】
【分析】本题考查列代数式，不等式的应用，根据甲，乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简再比较即可；
【详解】解：设选择甲网店的费用为元，选择乙网店的费用为元．
；
；
当时，得，解得；
当时，得，解得；
当时，得，解得．
所以当购买15个篮球时，选择这两家网店所需要的费用相同；当购买的篮球数时，选择甲网店购买比较合算；当购买的篮球数大于15个时，选择乙网店比较合算．
23. 如图，在中，．过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理；
（1）根据角平分线定义和平行线的性质证明，得到，然后等量代换求出即可；
（2）求出，可得的度数，然后证明，再根据平行线的性质计算即可．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与的图象交于点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求点C的坐标和的面积；
（2）直接写出关于x的不等式的解集：______；
（3）直接写出关于x的不等式组的解集：______．
【答案】（1），10
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（1）先求出点C坐标，再用待定系数法求出函数关系式，再求出点B坐标，最后求出的面积；
（2）写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可；
（3）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
【小问1详解】
将代入函数得：，解得：，
，
将代入函数得：
，解得：，
直线的函数关系式为，
将代入，得，
，
；
【小问2详解】
由函数图象可得：不等式的解集为，
故答案为：；
【小问3详解】
根据图象可以得到关于x的不等式组的解集为：，
故答案为：
25. 先阅读理解下列例题，再按要求完成下列各题．
例题：解不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”有①或②．
解不等式组①，得．解不等式组②，得．
所以不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组：
（1）仿照题意得到①或②，解两个不等式组即可得到答案；
（2）根据有理数除法计算法则可得①或②，，解两个不等式组即可得到答案．
【小问1详解】
解：
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”有①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
∴不等式的解集是或；
【小问2详解】
解：
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”有①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，无解，
∴不等式的解集是．
26. 综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
解决问题：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②．
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，平行线的性质定理．解题关键是找到全等的三角形，得出相等的线段，构造直角三角形解决问题．
（1）本题利用证明，再利用三角形全等的性质既可以得到；
（2）①由，得出内错角相等，再加上有两个直角和，最后由周角减出即可；
②连接，首先由（1）的全等得出，再证明，从而得出是等边三角形，确定 为30度的直角三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得出即可；
【详解】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，
，，，
，
．
在和中，，
，
；
（2）解：①，
．
，
．
，
；
②如图，连接，
由（1）知，
，．
，
．
由①知，
在和中，，
，
．
，
，
是等边三角形，
．
，
，
中，，
．
商家
优惠方案
甲网店
每购买10套队服，送1个篮球
乙网店
购买队服超过20套时，购买的篮球全部打八折