江苏省南京市联合体2024-2025学年下学期八年级 数学期中练习卷（含解析）

这是一份江苏省南京市联合体2024-2025学年下学期八年级 数学期中练习卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列调查适合普查的是（ ）
A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量B．某本书中某页的印刷错误
C．公民保护环境的意识D．某批灯泡的使用寿命
3．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白色球B．至少有1个球是黑色球
C．至少有2个球是白球D．至少有2个球是黑色球
4．在下列分式中，若，的值都扩大为原来的2倍，则分式的值不变的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列条件中，不能判断为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四边形中，，分别是，的中点，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共10小题）
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．分式与的最简公分母是 ．
11．一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成4组，第组的频数分别为12、10、6、则第4组的频率为 ．
12．不透明的袋中装有白球、黄球共10个，要使摸到白球的可能性大，黄球最多放 个．
13．在中，，则 ．
14．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则 ．
15．如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为 ．
16．如图，在矩形中，，相交于点，点，分别在，上，将沿翻折，使点与点重合．若，，则的长为 ．
17．如图，正方形的对角线，相交于，的平分线交于点，若正方形的边长为2，则的面积为 ．
18．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线段CF长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
(1)表格中______；
(2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01）
(3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？
21．为了了解某市120000名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析．
(1)小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力，他们的抽样是否合理？并说明理由．
(2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级共随机抽取了4000名学生进行调查，整理他们的视力情况数据，得到的扇形统计图和条形统计图．根据抽样调查的结果，估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少？
22．如图，在四边形中，，，．求证：四边形是菱形．
23．如图，在四边形中，，，，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，当四边形是矩形时，求的长．
24．已知．
(1)若，求证：；
(2)若，，判断与的大小并证明．
25．如图，正方形中，点，分别在，上，且，，相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，则长的最小值为________．
26．如图，在中，，在边上，过点作，垂足为．将线段绕点顺时针旋转至线段上，若在整个旋转过程中，点始终在内部（包括边界），则称为的关联线段，当最大时，称此时的为的极限关联线段．
(1)若，，足够长，则的极限关联线段的长为________；
(2)如图②，用两种不同的方法作点，使存在极限关联线段（要求：用直尺和圆规作图；保留痕迹，写出必要的文字说明）；
(3)如图③，若，存在长为1的关联线段，直接写出，的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选A．
2．【答案】B
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A不符合题意；
B．某本书中某页的印刷错误，数量不多，且这个调查很重要不可漏掉任何一个字，适合普查，故B符合题意；
C．公民保护环境的意识，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故C不符合题意；
D．某批灯泡的使用寿命，，调查具有破坏性，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选B
3．【答案】B
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
【详解】解：至少有1个球是白球是随机事件，故A选项不正确；
至少有1个球是黑球是必然事件，故B选项正确；
至少有2个球是白球是随机事件，故C选项不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，故D选项不正确；
故选B．
4．【答案】A
【分析】把每个选项中的式子中的，替换为，，再约分即可得到答案．
【详解】解：A、，分式的值不变，符合题意；
B、，分式的值变化，不符合题意；
C、，分式的值变化，不符合题意；
D、，分式的值变化，不符合题意；
故选A．
5．【答案】A
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴不能判断平行四边形是矩形，故此选项符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
D、∵，
，
∴平行四边形是矩形，故此选项不符合题意．
故选A．
6．【答案】D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故选D．
7．【答案】A
【分析】连接，取的中点G，连接，由三角形中位线定理得到，，然后分类讨论，利用三角形三边关系即可求解．
【详解】解：连接，取的中点G，连接，
∵，分别为，中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
①当时，
；
②当不平行时，
∵，
∴；
综上所述：，
故选A．
8．【答案】D
【分析】根据正方形的性质可得，再由平角的定义即可得到的度数，据此可判断①；利用正方形的性质和勾股定理求出，的长即可判断②；证明，得到，然后导角即可证明③；利用勾股定理求出，由全等三角形的性质得到，根据即可判断④．
【详解】解：∵正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，
∴，
∴，故①正确；
在中，，则，
由正方形的性质可得，
∴，故②正确；
设交于H，交于G，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故③正确；
设交于T，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故选D．
9．【答案】x≠﹣1
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≠0，解得：x≠-1．
10．【答案】
【详解】确定最简公分母的方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各单项式系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积；如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
11．【答案】
【分析】先求出第4组的频数，再根据频率频数总数进行求解即可．
【详解】解：由题意知，第4组的频数为，
∴第4组的频率为
12．【答案】4
【分析】根据题意设黄球有x个，则白球有个，要使摸到白球的可能性大，则白球的数量一定大于黄球的数量，据此列不等式，求解即可．
【详解】解：设黄球有x个，则白球有个，
要使摸到白球的可能性大，则白球的数量一定大于黄球的数量，
即，
解得，
∵为正整数，
∴x的最大值为4，
∴黄球最多放4个
13．【答案】
【分析】根据平行四边形对边互相平行得到，再结合已知条件求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
14．【答案】
【分析】由旋转的性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∴，
∴
15．【答案】
【分析】先由两点距离计算公式求出的长，进而由菱形的性质得到，轴，据此可得答案．
【详解】解：∵，的坐标分别为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵点A和点D都在x轴上，
∴轴，
∵，
∴
16．【答案】
【分析】过点O作于H，先由矩形的性质和勾股定理求出的长，则可得到的长，由三线合一定理得到的长，则可求出的长，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作于H，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴
17．【答案】
【分析】先由正方形的性质和角平分线的定义导角证明，则，再由勾股定理求出的长，进而求出的长，最后根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴
18．【答案】
【分析】连接CE，取BC的中点N，连接NF，先由等腰三角形的性质得∠DCE=30°，再由三角形中位线定理得NFCE，则∠CNF=∠DCE=30°，得点F的轨迹为直线NF，且∠CNF=30°，当CF⊥NF时，CF最短，即可求解．
【详解】解：连接CE，取BC的中点N，连接NF，如图2所示：
∵△CDE为等腰三角形，∠CDE=120°，
∴∠DCE=30°，
∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NFCE，
∴∠CNF=∠DCE=30°，
∴点F的轨迹为直线NF，且∠CNF=30°，
当CF⊥NF时，CF最短，
∵AB=BC=6，
∴CN=3，
在Rt△CNF中，∠CNF=30°，
∴CF=CN=，
∴线段CF长度的最小值为
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把分子合并同类项后进行约分即可得到答案；
（2）先通分，再把分子合并同类项后进行约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】(1)0.95
(2)0.95
(3)950人
【分析】（1）直接利用频数除以总数进行计算即可；
（2）利用频率估算概率即可；
（3）总数乘以概率即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：0.95；
（2）由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95；
故答案为：0.95；
（3）（人）．
21．【答案】(1)他们的抽样都不合理，理由见解析
(2)名
【分析】
（1）根据学生全部在眼镜店抽取，样本不具有代表性，只抽取20名初中学生，那么样本的容量过小，从而得出答案．
（2）用120000乘以样本中初中学生视力不良的人数所占的百分比，即可得出答案．
【详解】（1）解：他们的抽样都不合理，理由如下：
∵小华抽取的1000名初中学生全部在眼镜店抽取，
∴该市每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性．
∵小刚只抽取20名初中学生，
∴样本的容量过小又分布不广，样本不具有广泛性．
（2）解：根据题意得：
（名），
∴该市120000名初中学生视力不良的人数是名．
22．【答案】见解析
【分析】连接，证明得到，根据四边形内角和定理证明，则可证明四边形是平行四边形，据此可证明结论．
【详解】证明：如图所示，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
．
23．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，得到，则，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）利用勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
由矩形的性质可得，则，
∴，
解得，
∴．
24．【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用作差法得到，再判断出的符号即可证明结论；
（2）利用分式的加法计算法则得到，根据（1）可证明，据此可得结论．
【详解】（1）证明：
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
25．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，得到，再导角证明即可证明结论；
（2）取中点O，连接，则，根据，得到当点P在上时有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）解：如图所示，取中点O，连接，
∵，点O是中点，
∴，
∵，
∴当点P在上时有最小值，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为．
26．【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点A作于F，解直角三角形求出，由于足够长，那么旋转到上的对应线段一定在线段上，故当点P到的距离刚好等于的长时，为的极限关联线段，过点P作于E，根据，可得；
（2）如图2-1所示，过点C作交延长线于T，作的角平分线交于P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于Q，则点P即为所求；
如图2-2所示，过点C作交延长线于T，以T为圆心，的长为半径画弧交于Q，作线段的垂直平分线交于P，则点P即为所求；
（3）根据（1）（2）可知当满足点P到的距离大于等于时，边的长符合题意，当满足旋转后点Q落在上时，边的长符合题意，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作于F，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵足够长，
∴旋转到上的对应线段一定在线段上，
∴当点P到的距离刚好小于等于的长时，整个旋转过程中点Q都在内部（包括边界），
∴当点P到的距离刚好等于的长时，为的极限关联线段，
如图所示，过点P作于E，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴的极限关联线段的长为；
（2）解：观察图形可得的长度有限，在满足点P到的距离等于时，还有满足经过旋转后点Q落到上，故存在极限关联线段时一定满足点Q落到上时与点C重合；
如图2-1所示，过点C作交延长线于T，作的角平分线交于P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于Q，则点P即为所求；
由角平分线的性质可得点P到的距离等于，而，则；
由于是定角，则随着的增大，在增大，那么旋转到上的对应线段逐渐增大，故只有当点Q的对应点恰好为点C时取得最大值，则点P即为所求；
如图2-2所示，过点C作交延长线于T，以T为圆心，的长为半径画弧交于Q，作线段的垂直平分线交于P，则点P即为所求；
可证明，则，
同理可得此时点P即为所求；
（3）解：如图所示，过点A作于F，过点P作于E，则四边形是矩形，
∴，
∵整个运动过程中点Q都在四边形内部（包括边界），
∴，
∴，
∵存在长为1的关联线段，
∴
在中，，
∴；
∵整个运动过程中点Q都在四边形内部（包括边界），
∴直线上与点Q的对应点一定要在线段上，
∴由旋转的性质可得，
∴，
∵存在长为1的关联线段，
在中，，则当时，
∴，
∴此时有；
综上所述，，．经过路口的电动自行车数量/辆
180
230
280
260
240
300
自觉佩戴头盔人数/人
171
216
266
250
228
285
自觉佩戴头盔的频率
0.95
0.94
0.95
0.96
0.95
m