广东省佛山市南海外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市南海外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1. 下列说法正确的是（ ）
A. “水中捞月”是必然事件B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件
C. 测试自行车的质量应采取全面普查D. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义及调查方式的选择等知识，解题的关键是了解概率的意义，难度不大．根据事件的分类，概率的意义及调查方式分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、“水中捞月”是不可能事件，故原说法错误，不符合题意；
B、“概率为0.0001的事件”是随机事件，故原说法错误，不符合题意；
C、测试自行车的质量应采取抽样普查，故原说法错误，不符合题意；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次，正确，符合题意，
故选：C．
2. “窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．根据科学记数法的表示形式表示即可．
详解】解：，
故选：D．
3. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别求出∠α、∠β关系，做出判断即可.
【详解】解：A. ∠α、∠β互余,不合题意；
B.根据根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，符合题意；
C. ∠α=60°，∠β=75°，不合题意；
D. ∠α=45°，∠β=60°，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了互为余角的意义.掌握同角的余角相等是解题的关键.
4. 若，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 由的取值而定
【答案】C
【解析】
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可．
【详解】，
，
∵
，
，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5. 如果，，，那么三个数的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而比较得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了负整指数幂，零指数幂，解题的关键是正确求得的值．
6. 下列图中不是同位角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．
根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题．
【详解】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
7. 下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
8. 已知2x＝5，则2x+3的值是（ ）
A. 8B. 15C. 40D. 125
【答案】C
【解析】
【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】解：∵2x＝5，
∴
故选C
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
9. 如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出、、卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
卡片的面积为：；
因此可知，拼成一个长为，宽为的大长方形，
需要块卡片，块卡片和块卡片．
故选：．
【点睛】本题考查了多项式乘法，正确掌握多项式乘多项式运算法则是解题关键．
10. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于( )
A. 81°B. 99°C. 108°D. 120°
【答案】B
【解析】
详解】试题解析：过B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∴
∵，
∴
则
故选B.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，熟练掌握零指数幂有意义的条件是解题的关键．
根据底数不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
解得．
故答案为：．
12. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
13. 为响应国家新能源建设，某市公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转α度，则α为_______．
【答案】21
【解析】
【分析】利用平行线的性质和判定求解．
【详解】解：∵电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，
∴与水平线的夹角为：，
要使，需要与水平线的夹角为，
所以需将电池板逆时针旋转：．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能求出与水平线的夹角是解此题的关键．
14. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．
用频率和概率之间的关系解答即可．
【详解】解：∵点落在图案部分的频率稳定在0.6左右,
∴此不规则图案的面积大约为
故答案为： ．
15. 如图，已知正方形与正方形的面积之差为36，则阴影部分面积为___________．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，再根据得到即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，
所以
．
故答案为：18．
三、解答题．（共8小题，第16题8分，17题6分，18题7分，第19-21题各9分，22题13分，23题14分，共75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）利用平方差公式进行简算
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，平方差公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
17. 先化简，再求值：， 其中，
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的四则混合运算，涉及完全平方公式及运用；平方差公式及应用，多项式除以单项式等知识，求代数式的值．利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
【详解】解：原式=
=
=，
当，时，
原式=．
18. 利用网格画图：
（1）过点画的平行线；
（2）过点画的垂线，垂足为；
（3）线段的长度是点到直线____的距离；
（4）连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
（4）；垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短，解题的关键是熟练掌握网格的特点．
（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可；
（2）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点；
（3）根据点到直线的距离概念回答；
（4）根据垂线段最短直接回答即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的平行线；
【小问2详解】
解：如图，即为所求作的垂线；
【小问3详解】
解：线段的长度是点到直线的距离；
故答案为：；
【小问4详解】
解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
19. 如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵，（已知）
，（ ）
∴_________．（ ）
∴．（ ）
∴_________．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴_________．（等量代换）
∴（ ）
∴．（ ）
∵，（已知）
∴
∴
∴．（ ）
【答案】对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义．
【解析】
【分析】证明，可得，再证明，可得，再证明即可．
【详解】证明：∵，（已知）
，（对顶角相等）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，
∴，
∴．（垂直的定义）
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，掌握“简单的逻辑推理”是解本题的关键．
20. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小明的第二步应踩在A区域外的小方格上
【解析】
【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可；
（3）分别计算出小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率和小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，再比较即可；
【小问1详解】
解：根据题意，总共有个小方格，其中藏着10颗地雷，
故踩中地雷的概率，
故答案为：．
【小问2详解】
解：在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，其中藏着2颗地雷，
故踩中地雷的概率，
故答案为：．
【小问3详解】
解：小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率，
小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，
∵，
故为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上．
21. 某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论．
①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大；
②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大；
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示．
（1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？
（2）村口王大叔告诉同学们，两栋建筑的占地面积均为，求a的值为多少？
【答案】（1）回字形福建土楼占地面积为，新中式民宿占地面积为
（2）6
【解析】
【分析】本题考查多项式乘法的实际应用，算术平方根的应用：
（1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解；
（2）结合：，两栋建筑的占地面积均为，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：回字形福建土楼占地面积为：
；
新中式民宿占地面积为：
；
【小问2详解】
解：，两栋建筑的占地面积均为，
，
，
（负值舍去），
即a的值为6．
22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式如图，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图图中阴影部分面积可表示为：，图中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：
【拓展探究】图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图中阴影部分面积：方法：______，方法：______；
（2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______；
（3）若，，则 ______；
【知识迁移】（4）如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______．
【答案】（1），
（2）
（3）33
（4）3
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据大正方形面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；
（2）根据两种方法得到的面积相等列出等式；
（3）根据完全平方公式变形求值即可求解．
（4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：（1）方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：，
方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：，
故答案为：，；
（2）依题意得：，、
故答案为：；
（3），，
，
故答案为：
（4）阴影部分面积等于
，
，，
，
阴影部分面积等于
故答案为：
23. 如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
（1）填空： ， ；
（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，若恰好是的倍，求n的值；
（3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至第一次与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）120，90
（2）36 （3）存在，t的值为12或48
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解；
（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．
【小问1详解】
解：由题意，得：，，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：120，90；
【小问2详解】
解：∵恰好是的倍，
∴，
解得，
∴n的值是36；
【小问3详解】
解：存，理由如下：
如图：由题意，得：，，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图：
∵，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为12或48．