江西省赣州市十八县市二十四校2023-2024学年高三下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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1.【答案】C
【解析】因为或，所以.
2.【答案】D
【解析】因为，所以，
所以
3.【答案】B
【解析】因为：，，
所以是的必要不充分条件.
4.【答案】C
【解析】设此时水面的高度为，则
5.【答案】A
【解析】因为对任意的都有，所以令，得，所以，
所以
6.【答案】C
【解析】，且，所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，所以，解得.
7.【答案】D
【解析】因为，除以的余数为，所以选D.
8.【答案】A
【解析】由已知得，即，所以.
因为直线，所以.
又因为，所以，代入双曲线方程可得，
即，所以离心率.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
【答案】ABD
【解析】因为单调递减，所以，选项A正确；因为单调递增，所以，选项B正确；当a>1>b>0时，显然选项C不正确；选项D正确.
10.【答案】BCD
【解析】因为与相交，所以与平面相交，故选项A错误；
因为平面，平面，平面，所以直线与为异面直线，故选项B正确；
当点P与点A重合时，PN⊥平面，所以,故选项C正确；
当AP=AN时，直线与平面所成的角为，故选项D正确.
11.【答案】AD
【解析】由直线是函数图象的一条对称轴，得到.
又因为，得到，所以选项A正确；
因为在区间上的值域为，所以或，且，
因此.
若，则，或.因为，得，
此时，当时，，，不符合条件.
若，则，或.
因为，得或或.
当时，，当时，，，符合条件.
当时，，当时，，，不符合条件.
当时，，当时，，，不符合条件.
综上，当时，，所以选项D正确，选项B、C错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分．
12. 【答案】
【解析】圆心，半径，所以点到的距离，故.
13.【答案】
【解析】设展台所在的圆的圆心为，半径为，则，即，，，
所以展台的面积为
14.【答案】
【解析】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，
设，则.
因为，所以，即数列的每一项均是整数，
所以数列的每一项均是自然数，且d是正整数.
所以是数列中的项.
设，则，
即.
因为，故d是的约数.
所以.
当时，，得，
故，共种可能；
当时，，得，故，共种可能；
当时，，得，故，共种可能；
当时，，得，故，共2种可能；
当时，，得，故，共2种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
当时，，得，故，共1种可能.
综上，满足题意的数列共有（种）.
经检验，这些数列均符合题意.
四、解答题：共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分）解析：（1），
由图可以得到：，3分
图象过点，，
所以.6分
（2）由，得，9分
，
.13分
16.（15分）解析：（1）设的中点分别为，连接.
因为，所以.2分
因为，所以.
在梯形中，，
所以，，
，因此，
所以，6分
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.7分
如图，以为原点，所在直线分别为轴,轴，作出轴，建立空间直角坐标系，则.
设平面的法向量，则
，
，
令，得到，，即.10分
设平面的法向量，则
，
令，得到，，即.
.
因为二面角C-PA-D是锐二面角，
所以二面角的余弦值是.15分
17.（15分）解析：（1）当时，，
，2分
由得，
所以函数的单调递增区间是；6分
（2），，
依题意，存在实数且，
使得当时，，当时，.8分
记，则（）.
记.
①当时，，，在区间上单调递减，存在实数且，使得时，，即，单调递减，
因此当时，，当时，，函数在时取得极大值.11分
②当时，，因此，即，在区间上单调递增，当时，，不是函数的极大值点.···12分
③当时，，，函数在区间上单调递增，
当时，，即，函数单调递增，
即当时，，因此，不是函数的极大值点.
综上，实数的取值范围是.15分
18.（17分）解析：（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则
，2分
因此，分布列为：
6分
的数学期望.7分
（2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为，
记康复的人数为随机变量，则，
设，设，10分
所以整数的最大值为.17分
19.（17分）解析：（1）由条件得，解得，
所以椭圆的方程为；6分
（2）由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设，
点的坐标为，所以，化简得到.9分
由已知得到直线的斜率存在，设的方程为，，联立方程组，得（#）.
由，得到，所以，
得，根据韦达定理得
，化简得，
即或.
又当时，直线经过点，不符合题意，
因此，，直线经过定点，13分
将代入方程（#）得，
由，解得.
△面积.
设，,则，
当且仅当时取等号，因此△面积的最大值为.17分