江西省赣州市十八县（市、区）二十五校2025届高三下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份江西省赣州市十八县（市、区）二十五校2025届高三下学期期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意可得：，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2. 已知是首项为1，公比为q（）的等比数列．若数列的前三项和为2，则q等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题设，则，
所以，可得（负值舍）.
故选：C
3. 已知，则“向量共线”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】B
【解析】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立；
若，而，则向量同向共线，必要性成立；
所以“向量共线”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知展开式中的常数项为40，则a等于（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】对于可知：，
可知展开式中的常数项为，
即，解得或（舍去），
且，所以.
故选：B.
5. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以在上单调递增，且在上单调递增，
当时，当时，
因为的值域是，所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C
6. 已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设圆锥的底面圆圆心为点，分别以直线所在直线为轴，
过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系.
依题意，因点B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，
可设，其中，
则，
设直线SA与BC夹角为，
则
，
因，故当时，取得最大值1，此时取得最大值.
故选：D.
7. 不等式在区间上的整数解的个数是（ ）
A. 674B. 676C. 1352D. 1348
【答案】A
【解析】因为，
由题意可得，可得，
因为的最小正周期为，
且，
可知满足在内的整数解为4，5，即一个最小正周期内有2个整数解，
则不等式在内无整数解，在有个整数解.
所以不等式在有个整数解.
故选：A.
8. 某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段．小组赛阶段：进行3场小组赛，至少赢得2场才能晋级排名赛，否则淘汰．若晋级，进入排名赛阶段：进行3场比赛，每赢一场可额外获得奖金．已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6．该球队参加小组赛能获得出场费50万元，排名赛每赢一场比赛，获得100万元奖金．设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X（单位：万元），则随机变量X的数学期望是（ ）
A. 166.48B. 211.28C. 216.48D. 230
【答案】B
【解析】因为该篮球队小组赛阶段每场获胜概率均为0.8，
所以晋级排名赛的概率为，
设排名赛该球队赢了场，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6，
排名赛获得的奖金数为Z（万元），则，，，
所以随机变量X的数学期望是
（万元）.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 调研某工厂的生产投入（生产工时/天）对产量（件/天）和每件产品的平均能源消耗（千瓦时/件）的影响，得到如下数据：
现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由表格数据可知增大也增大，即与呈正相关，所以，故A正确；
因为增大时反而越来越少，所以与呈负相关，所以，故B错误；
因为每增加，增加的量分别为，，，，，增加的量接近且偏差不大，
而每增加，减少的量分别为，，，，，偏差较大，
即与的相关性更强，所以，即，所以，故C正确，D错误.
故选：AC
10. 尼科梅德斯蚌线（Cnchid f Nicmedes）是一种经典的曲线，已知一条尼科梅德斯蚌线C的方程为及一条直线，下列判断正确的是（ ）
A. 曲线C关于x轴对称
B. 曲线C上点的横坐标的取值范围是
C. 直线l与曲线C一定有且仅有两个交点
D. 直线l被曲线C截得的线段的中点在定直线上
【答案】ACD
【解析】对于A，若点在曲线上，则将点代入方程左式，
可得，即点也在曲线上，故A正确；
对于B，对于C的方程为，当时，显然不成立，而 ，故B错误；
对于C，由，消去化简得：（*），
因，故方程（*）有两个实根，
从而直线l与曲线C一定有且仅有两个交点，故C正确；
对于D，由C项分析，不妨设直线l与曲线C交于点，的中点为，
则有，故，即点在定直线上，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数（a为常数）有两个极值点，且．则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】AC
【解析】由题设有两个变号零点，
令，则在上有两个变号零点，
又，所以，故，
所以，又，则，故，A对，B错，
由上，则，
，，
令且，则，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以，时，时，
所以无最大值，最小值为，C对，D错.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知集合，那么等于_________．
【答案】
【解析】因为集合，
且，所以.
故答案为：.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与双曲线右支相交于A，B两点（点A在第一象限），且，则的面积等于_________．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，直线l的斜率为，其倾斜角为，即，
在中，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
即，所以的面积.
故答案为：.
14. 已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】分别取的中点，连接，设，
因为为等边三角形，则，
且，平面，则平面，
可知点平面，
又因为分别为的中点，则∥，且点为的中点，
可得平面，即点关于平面的对称点为点，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数a的值．
解：（1）函数的定义域为，
又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以为的极小值点，无极大值点.
（2）当，即时，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，不符合题意；
当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当，即，此时在上单调递减，
所以，不符合题意；
综上可得.
16. 如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．

（1）求AD的长；
（2）求的面积．
解：（1）在中，可知，，可得，
由正弦定理可得.
（2）在中，可知，
由余弦定理可得，
即，可得，解得或，
所以的面积为.
17. 如图，已知斜三棱柱的侧面是正方形，侧面是菱形，平面平面，，，点E，F分别是棱，AC的中点．

（1）求证：；
（2）设直线AB与平面的交点为M，求AM的长；
（3）求二面角余弦值．
解：（1）取的中点，连接，
由题意可知：为等边三角形，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
可得平面，且，
以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
可得，
则，所以.
（2）设，则，
由（1）可得：，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
由题意可知：，则，解得，
所以AM的长为.
（3）因为，
设平面（即平面）的法向量为，
则，令，则，可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
18. 已知椭圆和圆的方程分别是，椭圆的离心率，点M，N分别在，上，的最大值为．
（1）求，的方程；
（2）点是圆上的动点，过点P作与椭圆有且只有一个交点的两直线，设直线的斜率分别为，且与x轴分别交于点A，B．
（i）求证：为定值；
（ii）求的取值范围．
解：（1）圆的圆心为，半径，
则，
由题意可得：，解得，
所以椭圆和圆的方程分别是.
（2）（i）设直线方程为，
联立方程，消去y可得，
则，整理可得，

又因为直线过点，
可得，即，
则，整理可得，
可知是方程的根，
则，，
且在圆：上，则，即，
所以；
（ii）由（1）可得：，
由直线可得，
则，
因为，令，则，
可得，
所以的取值范围为.
19. 若有穷数列满足（d为常数，），则称数列为“项数为n差为d的极差数列”．
（1）写出一个各项为正整数，的“项数为4差为3的极差数列”；
（2）“项数为6差为3的极差数列” 满足各项均为正整数，，证明：数列是等差数列；
（3）从数1，2，3，…，20任意取出5个，按由小到大的顺序组成数列，求这个数列是“项数为5差为3的极差数列”的概率．
（1）解：因为，且，
不妨取，，，，符合题意（答案不唯一）；
（2）证明：依题意，，，，，
将上述式子相加可得，又，所以，又，
所以，，，，，
所以是等差为的等差数列；
（3）解：从数1，2，3，…，20任意取出5个，按由小到大的顺序组成数列，
则所有不同数列的个数为；
以下给出一个确定“项数为5差为3的极差数列”方法，
把个相同的小球放进编号分别为，，，，，的六个箱子中，
箱子中的球数，就是箱子的编号的值，
其中第一个箱子至少需要放个小球，第个箱子中至少需要放个小球，第个箱子可以不放球，
每一种放法，对应一个符合条件的数列，
第个箱子先分别放入个小球，第个箱子先借出个小球，
不同放法等价于个小球放进个箱子，每个至少一个小球，则放法数为，
即“项数为5差为3的极差数列”共有个，
所以所求概率.（生产工时/天）
10
20
30
40
50
60
（件/天）
50
101
149
202
248
301
（千瓦时/件）
19.8
19.1
152
14.5
13.0
9.2