山西省大同市第一中学校2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省大同市第一中学校2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共18页。
注意事项：
1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．2024年5月29日16时12分，我国太原卫星发射中心在山东附近海域成功发射谷神星一号海射型遥二运载火箭，此次海上发射的成功，让我们看到中国航天又一次向前迈进的一步，下列是有关中国航天的图标，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若将一元二次方程化成（，为常数）的形式，则的值为（ ）
A．B．C．4D．8
3．二次函数图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．为了积极响应国家“节约资，保护环境”的号召，我省充分利用自身地域优势大力发展风能，为全省的绿色发展注入不竭活力．如图是位于山顶上的风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转后能与原图案重合，则的值可以是（ ）
A．60B．90C．120D．180
5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）

A．点MB．格点NC．格点PD．格点Q
8．唐风晋韵，锦绣太原．2024年太原文旅火爆出圈，龙城太原被冠以新的昵称——歌迷之城，“演唱会经济”已经成为这座城市新的经济增长点．某酒店今年5月份的营业额为120万元，7月份的营业额达到145万元．若设6，7月份营业额的平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，是二次函数图象上的点．若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
10．一副三角板如图1所示放置，其中，，，斜边，，将三角板绕点顺时针旋转得到（如图2所示），此时与交于点，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点M（，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．已知是方程的一个根，则 ．
13．如图，将绕点A逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点B，若，，则的长是 ．
14．山西是一个多山的省份，大部分地区平均海拔在1000米以上，全省面积中以上是山地和丘陵在公路建设中，过去的普遍做法是盘山绕行或深填高挖，现在则多沿着山脚打隧道而过．如图，已知某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．
15．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得．根据此法，图中正方形的面积是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
17．如图，各顶点的坐标分别为，，．
(1)将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并写出点的坐标；
(2)请在图中画出关于原点对称的．
18．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
19．如图，抛物线过点和．
(1)求b和m的值；
(2)若抛物线与y轴交于点C，求的面积．
20．阅读与思考
下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务
任务：
(1)上述过程中的，，，表示的数分别为________，________，________，________；
(2)请用“平均数法”解方程：．
21．项目化学习
项目主题：大同黄花的最优销售单价．
项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：
（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
收集数据：
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
(1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________；
(2)若要使每月销售黄花获得的利润（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润．
22．综合与实践
“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题：
(1)求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求汽车刹车后，行驶了多远；
(3)若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由．
23．综合与探究
数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：．
思路梳理：
（1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整；
，
将绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，即点，，共线．
根据___________，易证___________，即可证得．
类比引申：
（2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由；
联想拓展：
（3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程．

平均数法解一元二次方程
在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
例解方程．
解：原方程变形，得．
由平方差公式，得．
移项，得，即．
直接开平方并整理，得，．
我们称这种解法为“平均数法”．
下面是小明用“平均数法”解方程的过程．
解：原方程变形，得．
由平方差公式，得．
移项，得．
直接开平方并整理，得，．
黄花销售单价（元/千克）
…
92
96
100
104
108
…
每月销售数量（千克）
…
880
840
800
760
720
…
1．A
解：A. 是中心对称图形，本选项符合题意；
B. 不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D. 不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
2．C
解：，
∴，
∴，
即．
∴．
故选：C
3．D
解：根据题意，
令，则，
∴二次函数图象与y轴的交点坐标是；
故选：D．
4．C
解：正三角形的中心角为，
故选：C．
5．C
解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得抛物线的解析式为：．
故选：C．
6．B
解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的一个交点坐标为，
即x=-1或时，函数值，
∴关于的方程的解为，，
故选：．
7．B
解：如图，连接N和两个三角形的对应点；

发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选：B．
8．A
解：设平均每月的增长率为x，
根据题意，得，
故选：A．
9．A
解：∵二次函数，
∴对称轴为，图象开口向上，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越小函数值越小，
∵点，在上，且，
∴，
即，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
∴，
故选：A．
10．B
解：∵，，，
∴，，
∵把三角板绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11．（2，）
解：点（，4）关于原点对称的点的坐标为（2，）．
故答案为：（2，）．
12．2025
解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴．
∴，
故答案为：2025．
13．3
解：∵由绕点逆时针旋转一定的角度得到，
，
，
故答案为：3．
14．
解：令，
得，
解得，
故，
故答案为：．
15．
解：由得到：．
解得：（负值舍去），
所以正方形的面积，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
（1）解：∵，
∴
解得，．．
（2）解：移项，得．
配方，得，即．
两边开平方，得．
解得，．
17．(1)图见解析，
(2)见解析
（1）解：如图，即为所求，
（2）如图，即为所求，
18．(1)k；
(2)k=3
（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
19．(1)，；
(2)30
（1）解：（1）∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
把代入得，；
（2）由抛物线可知，抛物线与y轴交点C的坐标为，
∴，
∵和，
∴，
∴．
20．(1)5，2，，
(2)
（1）解：解方程解方程的过程．
解：原方程变形，得．
由平方差公式，得．
移项，得．
直接开平方并整理，得，．
故答案为：5，2，，；
（2）原方程变形，得．
由平方差公式，得．
移项，得，即．
直接开平方并整理，得．
21．(1)一次，
(2)黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为25000元
（1）解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．
设一次函数关系式为，将点代入，得
，
解得，
一次函数关系式为．
故答案为：一次函数解析式为；
（2）解：根据题意，得
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当时，，
答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元．
22．(1)
(2)汽车刹车后，行驶了
(3)不会，见解析
（1）解：由图可知二次函数的图象过原点，所以可设关于的函数解析式为，
将，代入，得
，
解得，
∴关于的函数解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴汽车刹车后，行驶了；
（3）解：∵，
∴当时，汽车停下，此时该汽车行驶的距离为，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
23．（1）；；（2）（1）中的结论还成立，见解析；（3），见解析
解：（1）∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1，

∵，
∴，点F、D、G共线，
则，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）（1）中的结论还成立．
理由如下：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示：

∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）猜想：．理由如下：
把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示：

则，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．