吉林省长春市净月高新技术产业开发区2025届九年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市净月高新技术产业开发区2025届九年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了测量点到地面的高度，测量到地面的高度等内容，欢迎下载使用。
本试卷包括三道大题，共24小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：在实数范围内有意义，
，解得，
故选：B．
2. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
答案：C
解：关于的一元二次方程有一个根是，
将代入得，
解得，
故选：C．
3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A. B. C. D.
答案：C
解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
4. 北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A. B.
C. D.
答案：A
解：依题意得，
故选：A．
5. 已知，点在边上，下列条件中，不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解：A．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵，，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵两边对应成比例，但不能说明对应的夹角相等，
∴不能判断，故此选项符合题意；
D．∵，，
∴，
∴，故此选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）

A. 值越大，梯子越陡B. 值越大，梯子越陡
C. 值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与的函数值无关
答案：A
解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意；
B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
C、正切值是随着角度减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
7. 数学兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，各组的作图痕迹如下，其中所作射线不一定平分的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：A、由作法知：，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴平分；
B、此作图为角平分线的尺规作图方法；
C、由作图知，，
∴，
∴；
由作图知，，
∴，
∴，
∴平分；
D、由作图知，点P为线段垂直平分线上的点，无法判断射线是否平分．
故选：D ．
8. 关于抛物线与，下列说法中正确的是（ ）
A. 两条抛物线交于点B. 抛物线和关于x轴对称
C. 两条抛物线的顶点关于原点对称D. 抛物线向左平移m个单位得到
答案：D
解：令，则，，
∴两条抛物线交于点，故选项A错误；
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴抛物线和关于轴对称，故选项B错误；
两条抛物线的顶点关于轴对称，故选项C错误；
抛物线向左平移m个单位得到，故D选项正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算______．
答案：
解：，
故答案为：．
10. 若将抛物线向右平移1个单位长度，则所得抛物线的表达式______．
答案：或
解：根据题意
故答案为：或 ．
11. 在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有a个红球，这些球除颜色外无其它差别．数学兴趣小组做摸球试验，将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：
根据以上数据，估计a的值约为______．
答案：24
解：根据表格，摸到红球的频率稳定在左右，所以摸一次摸到红球的概率为，
则可估计口袋中红球的个数约为(个)
故答案为： ．
12. 如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度4的地方（即同时使），然后张开双脚，使两个尖端分别在线段l的两个端点上．这时与的数量关系是______．
答案：
解：因为，，且（对顶角相等），
所以，
所以相似比为。
根据相似三角形对应边成比例，得.
故答案为：.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点，以O为位似中心将放大，若点B的对应点坐标为，则点A的对应点坐标为______．
摸球的次数n
20
50
100
200
300
400
500
摸到红球的次数m
9
32
62
117
181
238
301
摸到红球的频率
0.45
0.64
0.62
0.585
0.603
0.595
0.602
答案：
已知以O为位似中心将放大，点的对应点坐标为，则位似比为．
因为点，注意坐标值的正负变化，原图形放大的方向是反向延长的，
所以点A的对应点A′的坐标为，即．
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，点分别是边的中点，的延长线与的延长线相交于点，连接交的延长线于点．对角线分别交于点．下面四个结论正确的序号是______．
①；②是的中点；③；④．
答案：①②④
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点到的高点到的高，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴①，正确；
∵，点是的中点，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴②是的中点，正确；
如图所示，延长，过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，即点是的中点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由②正确可得，是的中点；
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15 计算：．
答案：
解：
【点睛】本题考查了绝对值化简、特殊角正切值、二次根式混合运算，解题的关键在于熟练掌握特殊角的三角函数以及二次根式运算法则．
16. 解方程：．
答案：，
解：,
，
，
，
，
17. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等．
（1）甲走A出口的概率是______；
（2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：甲走A出口的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：用树状图表示甲、乙两人走同一出口的概率：
∴一共有9种等可能情况，其中甲、乙两人走同一出口的情况有3种，
∴．
故甲、乙两人走同一出口的概率为．
18. 如图，一张桌子的桌面长为，宽为，将长方形桌布铺在桌子上；四边垂下的长度相同（四个角除外），桌布的面积为桌面面积的倍，求桌布垂下桌边的长度．

答案：
解：设桌布垂下的长度为，
则由题意得，
整理方程得，
，
解得（负值，舍去），，
答：桌布垂下的长度为．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，点D是与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，在线段上取一点E，使得；
（2）图②中，在线段上取一点F，使得；
（3）图③中，在线段上取一点G，使得
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【小问1详解】
取线段与的交点为，连接，即为所得．
【小问2详解】
连接，取线段与线段交于点F，连接，即为所得．
【小问3详解】
连接，，取线段与的交点为，连接，与的交点为点，连接，即为所得．
20. 如图，在中，D、E分别是的中点，相交于点G．

（1）求证：；
（2）若的面积是，则的面积为______．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：连接，

∵D、E分别是的中点，
．
．
．
．
【小问2详解】
解：∵是的中线，
又
∴
∴
故答案为：．
21. 在数学项目——测量净月潭女神像高度的活动中，某校九年级学生给出以下两种测量方案．从两种方案中任选其中一种，计算净月潭女神像的高度（精确到）．
活动项目
测量净月潭女神像的高度
活动方案
方案一
方案二
测量工具
测角仪、卷尺
平面镜、卷尺
方案示意图
实施过程
1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处；
2．用测角仪测量从点处观察女神像顶点的仰角；
3．测量点到地面的高度．
1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处；
2．在线段上放置一个平面镜，调整平面镜的位置，使观测者刚好从镜中看到女神像的顶点；
3．测量两点间距离；
4．测量到地面的高度．
参考数据
，，，，，．
．
备注
1．图上所有点均在同一平面
1．图上所有点均在同一平面内；
选择方案______，进行完整解答．
答案：一或二，解答见解析
解：选择方案一，
解答过程如下：
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
答：净月潭女神像高约为；
解：选择方案二，
解答过程如下：
，
内；
2．均与地面垂直．
2．均与地面垂直；
3．由物理学知识可得．
，
，
，
，
，
，解得，
答：净月潭女神像高约为．
22. 阅读材料，回答下列问题．
【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可）
【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
（2）利用分母有理化化简：；
【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：．
（3）用分子有理化直接比较和的大小．
答案：（1）；；（2）；（3）
（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；；
（2）解：
．
（3）．
理由如下：
∵，
，
∵，
∴，
∴．
23. 如图，在矩形中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运
动，到达点停止．将沿直线翻折得到，设点运动时间为，所在直线与射线交于点．
（1）用含的代数式表示的长为______；
（2）求证等腰三角形；
（3）当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，直接写出的取值范围；
（4）当时，直接写出的值．
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）
（4）或
【小问1详解】
解：在矩形中，，
点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：由翻折性质可知，
∵在矩形中，，
，
，
，
为等腰三角形；
【小问3详解】
解：点从点出发，将沿直线翻折得到，当落在边上时（与重合），如图所示：
由（2）知，
再由折叠性质可知，
点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，
；
当时，即当时，四边形与矩形重叠部分是筝形，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形，
综上所述，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，的取值范围是；
【小问4详解】
解：当点落在矩形内部时，作于点，如图所示：
四边形是矩形，则，
由翻折性质可知，，
，
∵在矩形中，，
，
在和中，
，
，，
在矩形中，，
，
，
，
，
，则，
在中，由勾股定理可得，
则，解得；
当点落在矩形外部时，如图所示：
由折叠性质得到，
由（2）知为等腰三角形，
，
，，
当时，，即，
如图所示：
此时，点和点重合，则．
24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b、c是常数）与坐标轴的交点为和．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，y的取值范围是______；
（3）已知点P在抛物线上，横坐标为，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，将Q为向右平移一个单位长度至点M，连接，构造（不重合）．完成以下问题：
①当点P在点Q下方时，求面积的最大值；
②当抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
答案：（1），顶点坐标
（2）
（3）①；②或
【小问1详解】
解：将和代入，
得，
，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式为，顶点坐标．
【小问2详解】
解：由（1）得函数解析式为，
∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，且当时，取得最小值，最小值为，
∵包含，
∴内的最小值为，
当时，，
当时，，
∴．
【小问3详解】
解：①由点P在抛物线上，点Q在直线上，
设，
∵点P在点Q下方，
∴，
当时，取最大值为，
∵Q为向右平移一个单位长度至点M，
∴，，
∴的面积最大值．
②解：如图1，设抛物线与直线的交点分别为G，H，
根据题意，得，
解得，
∴，
当P在Q上方，且P、Q、H三点不重合时，抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而减小，符合题意，此时，
∴；
如图2，当点P在Q的下方时，点M未落到抛物线上时，的内部都在抛物线的上方，二者无公共部分；
如图3，当点P在Q的下方时，点M落到抛物线上时，此时，，
故得，
解得，
∴；
如图4，当P在Q下方，且P、Q、G三点不重合时，抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而增大，符合题意，此时，
∴；
当点P在点G的上方时，在抛物线的外部，无公共部分，
综上所述，符合题意的m的取值范围是或．