吉林省吉林市吉林高新技术产业开发区2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省吉林市吉林高新技术产业开发区2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题2分，共12分）
1．（2分）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（2分）已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣6
解：0.000021＝2.1×10﹣5，
故选：C．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2D．
解：A、由同底数幂的乘法运算法则可得a2•a3＝a5≠a6，计算错误，不符合题意；
B、由幂的乘方运算法则可得（a2）3＝a6≠a5，计算错误，不符合题意；
C、由完全平方和公式可得（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，计算错误，不符合题意；
D、由负整数指数幂运算可知，计算正确，符合题意；
故选：D．
4．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
解：由作图可知，OC＝O'C'＝OD＝O'D'，CD＝C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）．
故答案为：A．
5．（2分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，
解得n＝5，
即这个多边形为五边形，
故选：A．
6．（2分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共24分）
7．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
8．（3分）分解因式：3a2﹣27＝ 3（a+3）（a﹣3） ．
解：3a2﹣27
＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）．
故答案为：3（a+3）（a﹣3）．
9．（3分）大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这是根据 三角形具有稳定性 ．
解：大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这是根据三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
10．（3分）已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12），关于y轴对称点的坐标是（5，b），则A点的坐标是 （﹣5，12） ．
解：∵已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12），
∴b＝12，
∵关于y轴对 称点的坐标 是（5，b），
∴a＝﹣5，
∴则A点的坐标是（﹣5，12）．
故答案为：（﹣5，12）．
11．（3分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 34 度．
解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°
∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
故答案为：34．
12．（3分）如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE＝3cm，则△ABD的周长为 13 cm．
解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足
∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，
∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+BC＝13cm
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13cm．
故填13．
13．（3分）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝60°，∠BCD＝100°，点A恰好落在线段ED上，则∠B的度数为 50 度．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB＝60°，AC＝CD，∠D＝∠BAC，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠BCD＝100°，∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°，
∴∠BAC＝∠D（180°﹣40°）＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
故答案为：50．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，BC＝5，CD平分∠ACB，如果点P，点Q分别为CD，AC上的动点，那么AP+PQ的最小值是 ．
解：过点A作AE⊥BC交于E点，交DC于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点，
∵CD平分∠ACB，
∴PE＝PQ，
∴AP+PQ＝AP+PE＝AE，
此时AP+PQ的值最小，
∵△ABC的面积3×45×AE，
∴AE，
∴AP+PQ的值最小为，
故答案为：．
三、解答题（每题5分，共20分）
15．（5分）计算：x（x+2y）﹣（y﹣3x）（x+y）．
解：原式＝x2+2xy﹣（xy+y2﹣3x2﹣3xy）
＝x2+2xy+2xy﹣y2+3x2
＝4x2+4xy﹣y2．
16．（5分）解方程：．
解：，
去分母得：x﹣7+（x﹣2）＝﹣7，
去括号得：x﹣7+x﹣2＝﹣7，
移项，合并同类项得：2x＝2，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解为：x＝1．
17．（5分）如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2+IR3．当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，则U的值为 220 ．
解：由题意可得：U＝IR1+IR2+IR3＝I（R1+R2+R3），
当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，
原式＝2.5×（19.7+32.4+35.9）＝220．
故答案为：220．
18．（5分）如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：∠A＝∠D．
证明：∵AE＝BD，
∴AE+BE＝DB+BE，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．（7分）某学生化简分式出现了错误，其解答过程如下：
原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 二 步开始出错的，其错误原因是 括号前是负号，去括号时未变号 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
解：（1）学生的解答过程从第二步出现错误，原因是括号前是负号，去括号时未变号，
故答案为：二，括号前是负号，去括号时未变号；
（2）原式



．
20．（7分）新能汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能汽车，去年A型车的销售总额为5000万元，今年每辆车的售价比去年减少2万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少1000万元．求今年每辆A型车的售价．
解：设今年每辆车的销售价格为x万元，
根据题意，得，
解得：x＝8．
检验：当x＝8时，x（x+2）≠0 所以x＝8是原方程的解．
答：今年每辆A型车的售价为8万元．
21．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
（1）点A关于 x 轴对称的点在第四象限；（填“x”或“y”）
（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）∵点A在第一象限，
∴点A关于x轴对称的点在第四象限．
故答案为：x；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（3）如图所示，点P即为所求．
22．（7分）已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于点N．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ 7 cm．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD＝60°，
∴∠BAD+∠ABE＝60°，
∴∠BMN＝60°，
又∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝90°，
∴∠MBN＝30°，
∴BM＝2MN＝6cm，
∴AD＝BE＝BM+ME＝7cm，
故答案为：7．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．（8分）如图，在长为（4a﹣1）米、宽为（3b+2）米的长方形铁片上，挖去一个长为（3a﹣2）米、宽为2b米的小长方形铁片．
（1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积；
（2）当a＝4，b＝3时，求图中阴影部分的面积．
解：（1）剩余部分（即阴影部分）的面积为：
（4a﹣1）（3b+2）﹣2b（3a﹣2）＝12ab+8a﹣3b﹣2﹣6ab+4b＝（6ab+8a+b﹣2）（平方米）；
（2）当a＝4，b＝3时，
阴影部分的面积为6ab+8a+b﹣2＝6×4×3+8×4+3﹣2＝105（平方米）．
24．（8分）【教材呈现】
对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）；
如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
解：∵BP平分∠ABC（已知），
∴，
同理可得∠PCB＝ 25 °．
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（ 三角形内角和定理 ），
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）＝ 115 °．
【问题推广】
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BPC的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACM的角平分线交于点P，过点C作CN⊥BP于点N，若∠A＝82°，则∠PCN＝ 49 °．
解：教材呈现：∵BP平分∠ABC（已知），
∴，
同理可得∠PCB＝25°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质），
＝180°﹣40°﹣25°
＝115°．
故答案为：25，三角形内角和定理，115；
问题推广：（1）由折叠的性质可得∠ADE＝∠PDE，∠AED＝∠PED，
∵∠1+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝100°，∠2+∠AEP＝180°，
∴2∠AED+2∠ADE＝260°，
∴∠AED+∠ADE＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，
∴∠ACB＝2∠PCB，∠ABC＝2∠PBC，
∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，
即∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°；
（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACM，
∴∠ACM＝2∠PCM，∠ABC＝2∠PBC，
∵∠ACM＝∠A+∠ABC，即2∠PCM＝2∠PBC+∠A，
∴，
又∵∠PBC+∠P＝∠PCM，
∴，
∵CN⊥BP，
∴∠CNP＝90°，
∴∠PCN＝90°﹣41°＝49°．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②
的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式： （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ；
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣414．
（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），
把a+b＝3，ab＝1代入得：
a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．
∴9．
26．（10分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC﹣CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止
运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为 t （cm），BP的长为 6﹣t （cm）（用含t的式子表示）；
（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；
（3）在点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．
解：（1）由题意BQ＝t cm，PB＝（6﹣t）cm．
故答案为：t，6﹣t；
（2）如图1中，当PQ⊥BC时，
∵∠PQB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2．
如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB＝2PB，
∴t＝2（6﹣t），
∴t＝4．
如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣t），
∴t＝8，
综上所述，满足条件的t的值为2或4或8．
（3）如图，过Q作QH∥BC交AB于H，
则△AHQ是等边三角形，
∴AQ＝AH，
∵AC＝AB，
∴CQ＝BH，
∵CQ＝BP，
∴BH＝BP，
∴QE＝PE，
∴点E是PQ的中点，
∴在点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，PQ中点O经过的路径长为BC＝3（cm）．