吉林省长春市汽车经济技术开发区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市汽车经济技术开发区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了答题前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
本试卷包括三道大题，共24小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：0.000000005米用科学记数法表示为米，
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误.
C、，故选项C错误.
D、，故选项D正确.
故选：D．
3. 陈老师对56名同学的跳绳成绩进行了统计，跳绳个数140个以上的有28名同学，则跳绳个数140个以上的频率为（ ）
A. 0.4B. 0.2C. 0.5D. 2
答案：C
依题意跳绳个数140个以上的频率为，
故选C.
4. 直角三角形的两边长分别为和，该三角形第三边的长是（ ）
A. B. C. D. 或
答案：D
解：①当和为直角边时，设第三边长为，
∴由勾股定理得：，
∴；
②当长的边为斜边时，设第三边长为，
∴由勾股定理得：，
∴，
综上可知：第三边长为或，
故选：D．
5. 如图，在和中，点在同一条直线上，，添加下列选项无法证明的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：若，则，
根据“”可证，故A不符合题意；
若，根据“”可证，故B不符合题意；
若，则，
根据“”可证，故D不符合题意；
若，无法证明，故C符合题意；
故选：C
6. 如图，在中，，的平分线交于点，作于点．若点恰好是的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：，点是的中点，
，
，
的平分线交于点，
，
，
又，
，
即：，
，
故选：B．
7. 已知，则的值为（ ）
A. 17B. 13C. 5D. 1
答案：B
解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即小丽在C处时距离地面的高度是，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 要使分式有意义，则应满足的条件是_______．
答案：
解：∵分式有意义，
∴，
∴
故答案为：．
10. 因式分解：_______．
答案：
解：
，
故答案为：．
11. 某企业一年四个季度的销售总额约63万元，其中前三季度占全年的百分比分别是、、，则表示第四季度的销售额是_______万元．
答案：
解：∵前三季度占全年的百分比分别是、、，
∴第四季度占全年的百分比是，
∵一年四个季度的销售总额约63万元，
∴第四季度的销售额是万元．
故答案是：．
12. 如图，将等腰直角三角尺一条直角边放在数轴上，顶点和对应的数分别为0和1，再将三角尺绕顶点逆时针旋转，使得斜边与数轴重合，则顶点在数轴上对应的数是_______．
答案：
解：∵是等腰直角三角形，直角边，
∴斜边，
∵点对应的数是0，旋转后，在点的左侧，且，
∴顶点在数轴上对应的数是．
故答案为：．
13. 如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边密度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为_______平方米．（用含、的代数式表示）
答案：##
解：（平方米），
故答案为：．
14. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作四弧，两弧相交于两点，画直线恰好经过点．给出下列四个结论：
若连接，则是等腰三角形；
若连接、则是等腰三角形；
；
．
其中正确结论的序号有_______．
答案：
解：连接、，如图，
以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，
，
是等腰三角形，故正确；
分别以点为圆心，大于的长为半径作四弧，两弧相交于两点，画直线恰好经过点，
垂直平分，
，
是等腰三角形，故正确；
设，
由作法知，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，故错误；
以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，
，
，
，
，
由知：，
，
，故正确，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解：
当时，原式．
16. 图是某品牌婴儿车，图是其部分结构示意图．根据安全标准需满足，已知，请通过计算说明该车是否符合安全标准．
答案：符合安全标准，理由见解析
解：符合安全标准，理由如下：
，
，
，
，
是直角三角形，且，
即，
符合安全标准．
17. 某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量比第一次多300千克．问该种干果的第一次进价是每千克多少元？
答案：第一次进价是每千克10元
解：设第一次进价是每千克元．
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一次进价是每千克10元．
18. 如图，点在线段上，点在点右侧，是等边三角形．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
答案：（1）详见解析
（2）
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
．
∵，
．
．
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
．
19. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本这次调查的总人数．
（2）请补全条形统计图．
（3）求A组人数占本次调查人数的百分比．
（4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度．
答案：（1）100人
（2）见解析 （3）
（4）
【小问1详解】
解：这次调查的学生人数是：（人）
答：本这次调查的总人数为100人．
【小问2详解】
D组的人数为：（人）．
【小问3详解】
A所占的百分比为：．
答：A组人数占本次调查人数的百分比为．
【小问4详解】
B组所占的圆心角是：．
故答案为：．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法．
（1）在图①中找一格点，连结，使线段；
（2）在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且；
（3）在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是_______．
答案：（1）图见解析
（2）图见解析 （3）图见解析；或或
【小问1详解】
解：使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边，如下图即为所求，
【小问2详解】
解：使，，且边上的高为2或者，如下图即为所求，
【小问3详解】
解：使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边或者沿网格线画，为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，如下图即为所求，
图①
图②
图③
故答案为：或或．
21. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿虚线前成四块相同的小长方形，然后按图拼成大正方形．
（1）图中大正方形的边长为_______，阴影部分的小正方形的边长为_______；
（2）试通过图形猜想，，之间的等是关系，并利用完全平方公式证明你的结论；
（3）已知，，则的值为_______．
答案：（1），；
（2），证明见解析；
（3）或
【小问1详解】
解：图正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，理由，
∵，
∴
即；
小问3详解】
解：由（）可得：，
∵，，
∴，
∴，
故答案：或．
22. 伊通河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量伊通河两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表：
课题
测量河流宽度
（1）第一小组方案中需要的工具有_______；
（2）第一小组测得米，请你根据第一小组的方案计算河宽；
（3）第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
答案：（1）测角仪、皮尺
（2）米
（3）可行，证明见解析
【小问1详解】
解：第一小组方案中需要的工具有测角仪、皮尺，
故答案为：测角仪、皮尺；
【小问2详解】
解：由题意得：，
，
，
，
米，
河宽为米；
【小问3详解】
第二小组的方案可行，
证明：由题意得：，，，
，
，
只要测得就能得到河宽．
23. 已知和都是等腰直角三角形，．
【初步探索】如图①，点在同一条直线上，点在上，连结，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______．
【拓展延伸】如图②，点不在同一条直线上，点在内，点在外，连结，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】如图③，和两块等腰直角三角尺，．连结．若有，则的度数为_______．
工具
测角仪、标杆、皮尺等
小组
第一小组
第二小组
测量方案
如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得．
如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点向西走到点，在点插上一根标杆，继续向西走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一条直线上．
测量示意图
答案：初步探索：；拓展延伸：成立，理由见解析；知识应用：或
（1）初步探索：
解：延长交于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）拓展延伸：
解：成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
延长交于点，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴（1）中的结论成立．
（3）知识应用：
解：连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图点E在内，点B在外，连接，
由【拓展延伸】得，
∵，，
，
是直角三角形，且，
，
∴，
综上所述，的度数为或．
24. 如图①，在，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，连接，设点的运动时间为秒．
（1）当秒时，求的长度；
（2）用含的代数式表示线段的长度；
（3）当分的面积为两部分时，求的值．
（4）如图②，是上一点，，作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值．
答案：（1）
（2）或
（3）或
（4）或
【小问1详解】
解：当秒时，，
，
，
在中，由勾股定理得；
【小问2详解】
由题意得：，
当时，，
当时，，
线段的长度为或；
【小问3详解】
，
，，
当分的面积为两部分时，或，
或，
解得：或；
【小问4详解】
，
，
，
当点在线段上时，如图：
由对称得：，，，
，
而，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
当点在线段延长线上时，
如图：
由对称得：，，，
，
而，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
综上所述：当点落在直线上时，的值为或．