湖南省长沙市芙蓉区2025届九年级上学期1月期末数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市芙蓉区2025届九年级上学期1月期末数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门基础学科，“数学”的英文缩写为“math”，构成“math”的四个英文字母中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 在标准大气压下，水加热到会沸腾B. 三角形的两边之和小于第三边
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯D. 抛掷一块石头，石头终将落地
3.如图，四边形ABCD内接于，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.如图，在四边形ABCD中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是( )
A. CA平分
B.
C.
D.
6.把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析：式为( )
A. B.
C. D.
7.10月10日，“竣越杯”2024湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛.最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了56场比赛.若设共有x支本土校园篮球劲旅参加比赛，则x满足的关系式为( )
A. B. C. D.
8.对于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象的开口向上B. 图象的对称轴是直线
C. 图象的顶点是D. 当时，y随x的增大而增大
9.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为( )
A. 1B. 3C. D.
10.如图，在中，，点D为线段BC上一动点不与点B，C重合，连接AD，作，DE交线段AC于点
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：∽；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为BC的中点.
则下列说法正确的是( )
A. 只有甲同学正确B. 乙和丙同学都正确 C. 甲和丙同学正确D. 三个同学都正确
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知关于x的方程的一个根是3，则它的另一个根是______.
12.围棋起于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是______个.
13.如图，在中，直径于点E，，，则的半径长为______.
14.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______.
15.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，，则四边形ABCD的面积的最大值为______.
16.如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长AC交y轴于点D，连接BD，若的面积等于4，则k的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
计算：
18.本小题6分
解方程：
19.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点
求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
根据图象可得，不等式的解集为______.
20.本小题8分
某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心APP”宣传推广活动，截至2023年底，注册人数已达万人.某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心APP”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷调查共设10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解分、B：比较了解分、C：基本了解分、D：不太了解分四个等级并绘制了如下两幅不完成的统计图.
根据如图所示图标回答下面的问题：
在扇形统计图中，A等级对应的扇形圆心角为______，补全条形统计图；
若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反炸中心APP”问卷调查得分不低于60分的人数；
为了更好的开展“国家反诈中心APP”宣传推广工作，社区准备招募两名宣讲人员，现有问卷调查为A的4人报名，其中男性1人，女性3人，若从中随机选取2人，求选取的为1男1女的概率.
21.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在边BC、AB上，且于点
如图1，当时，求证：；
如图2，，若，，求AH的值.
22.本小题8分
“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元为正整数，每分钟的销售量为y袋．
求出y与x的函数关系式；
设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？
23.本小题8分
如图，AB是的直径，AC是的弦，半径，CE交AB于点F，过点C作的切线交AB的延长线于点
求证：；
若，，求图中阴影部分的面积.
24.本小题10分
定义1：在平面直角坐标系中，点是平面内一点，我们称的值为点P的“2024芙蓉花”.如考虑点，因为，所以点的“2024芙蓉花”为
定义2：在平面直角坐标系中，图形G上所有点的“芙蓉花”中最大的值称为图形G的“2024最美芙蓉花”.
已知点P在抛物线的图象上，且P点的横坐标为，那么点P的“2024芙蓉花”是______；该抛物线的“2024最美芙蓉花”是______.
已知抛物线，是否存在某个合适的m的值，使得该抛物线的“2024最美芙蓉花”是若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
已知：①点在二次函数的图象上，且点A的“2024芙蓉花”为；②二次函数和二次函数的“2024最美芙蓉花”相等；③AB是圆O的直径，点C为圆O上一定点点C不与点A和点B重合以长度分别为，，的三条线段刚好能构成一个三角形，且构成的三角形刚好和三角形ABC相似.求满足条件的a，b，c的值.
25.本小题10分
如图，四边形ABCD内接于，对角线AC、BD交于点E且AC为直径，延长DA、CB交于点F，连接OD，若，请回答下列问题：
求证：∽；
若，求的值；
设，与四边形ABCD的面积之比为y，请求出y关于x的函数关系式.
答案和解析：
1.【答案】D
解析：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选：
2.【答案】D
解析：解：A、在标准大气压下，水加热到会沸腾，是不可能事件，故该选项不符合题意；
B、三角形的两边之和小于第三边，是不可能事件，故该选项不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、抛掷一块石头，石头终将落地，是必然事件，故该选项符合题意．
故选：
3.【答案】B
解析：解：四边形ABCD内接于，，
，
故选：
4.【答案】D
解析：解：点，和都在反比例函数的图象上，
，，，
，
故选：
5.【答案】C
解析：解：在和中，，
如果∽，需满足的条件有：
①或AC是的平分线；
②；
故选：
6.【答案】A
解析：解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析：式为：；
再向下平移5个单位为：
故选：
7.【答案】D
解析：解：根据题意得，
故选：
设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛56场，可列出方程．
8.【答案】C
解析：解：，
，开口向下，顶点，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而减小．
故选：
9.【答案】B
解析：解：如图，过A作于C，
圆的内接正十二边形的圆心角为，，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选：
10.【答案】D
解析：解：在中，
，
，
，，
，
∽，
甲同学正确；
在和中，
，
≌，
，
乙同学正确；
当时，
，
，
，
，
，
，
D为BC的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确．
故选：
11.【答案】
解析：解：由题知，
因为关于x的方程为，
所以方程的两根之积为，
又因为方程的一个根为3，
所以方程的另一个根为
故答案为：
12.【答案】24
解析：解：由题意，盒中棋子的总个数是个
故答案为：
13.【答案】5
解析：解：直径于点E，，，
，
设的半径长为r，则，
在中，，即，
解得
故答案为：
14.【答案】或
解析：解：由图可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
函数图象与x轴的另一交点坐标为，
的解集是或
故答案为：或
15.【答案】
解析：解：设，四边形ABCD面积为S，则，
则：，
当时，；
所以，四边形ABCD的面积最大值为
故答案为：
16.【答案】12
解析：解：作于E，连接OA，
，
，
，
，
，
∽，
，
的面积等于4，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
17.【答案】原式

解析：根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简的计算方法，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
18.【答案】解：原方程两边都乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
解析：利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
19.【答案】或
解析：解：点在一次函数的图象上，
将，代入中，得，
点在反比例函数的图象上，
将，代入中，得，
解得
联立，
解得：或，
点B的坐标为；
由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即时，或，
故答案为：或
20.【答案】
解析：解：依题意，总人数：人；
A等级对应的扇形圆心角：；
B等级的人数：人；
如图：
依题意，
“国家反炸中心APP”问卷调查得分不低于分的人数：人；
依题意，列出树状图：
总共有16种结果，满足选取的为1男1女的结果有7种，
则选取的为1男1女的概率：
21.【答案】证明：当时，，
矩形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在矩形ABCD中，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
解得：或舍去，

解析：根据题意可得矩形ABCD是正方形，再证明≌，即可；
证明∽，可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解．
22.【答案】解：由题意可得：
，
与x的函数关系式为；
由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
当时，w最大，最大值4500，
答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
根据题意得：，
解得，，
为了让消费者获得最大的利益，
，
答：此时大米的销售单价是65元．
解析：根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出y与x的函数关系式；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润w元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
根据“东方甄选”每分钟获得的利润w元等于每袋的利润乘以销售量以及保证捐款后每分钟利润不低于3875元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可．
23.【答案】证明：如图，连接OC，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，

解析：连接OC，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到；
根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可．
24.【答案】
解析：解：当时，，
，
，
当时，，
该抛物线的“2024最美芙蓉花”是：，
故答案为：，；
假设存在，
，该抛物线的“2024最美芙蓉花”是，
，，
，
；
，点A的“2024芙蓉花”为，
，
①，
由题意得，
，，
二次函数和二次函数的“2024最美芙蓉花”相等，
，
②，
是的直径，
，
以长度分别为，，的三条线段刚好能构成一个三角形，且构成的三角形刚好和三角形ABC相似，
以长度分别为，，的三条线段刚好能构成一个这个直角三角形，
③，
由①②③得，
，
25.【答案】证明：，
，
又，
∽；
解：设，，则，，
由∽可得，
，
，
同时可得和都是等腰三角形，
，
，
又，
，
，
；
解：由知，
，
则，，
则，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，

解析：根据圆周角定理即可证明∽；
设，，则，，根据相似三角形的性质，证明和都是等腰三角形，即可解答．
根据题意求得，证明∽，∽，表示出与的面积之比，即可解答．