湖北省黄冈市2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份湖北省黄冈市2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共19页。
1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置．
2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观．
3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：二次函数的顶点式为，
其顶点坐标为：．
故选：D
2. 已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆外C. 点在圆上D. 无法判断
答案：B
解：∵的直径为，
∴的半径为，
∵点P到圆心O的距离为大于半径，
∴点P在圆外，
故选：B．
3. 如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）．
A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°
答案：C
解：∵ ∠A=∠BOC ， ∠BOC=100° ，
∴ ∠A=50° ．
故选：C．
4. 如图，将绕点O逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
5. 如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：C
解：连接，
设的半径为，则，
，过圆心，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径长是5，
故选：C．
6. 如图，四边形内接于⊙O，已知点C为的中点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：∵四边形内接于⊙O，，
∴，
∵点C为中点，
∴，
故选D．
7. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
已知，，
，
，
解得．
故选：D．
8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ）
A. 3B. C. 3或D.
答案：B
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，，
∴，
故选：B．
9. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）

A. B.
C D.
答案：D
解：∵中，，，，
∴，，
∴,
．
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于两点，若
点的坐标是，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：作于B，连结，如图，设的半径为r．
∵与y轴相切于原点O，
∴，
∴点A的坐标为．
∵，
∴．
∵轴，，
∴B点坐标为．
中，．
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴N点坐标．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是_____．
答案：
点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）．
故答案为（﹣3，﹣4）．
12. 圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为_____．
答案：π．
解：该弧的长度＝＝π，
故答案为：π．
13. 若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是______．
答案：
解：∵关于的一元二次方程（）的解是，
∴，即，
∴，
∴的值是．
故答案为：．
14. 如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是______．
答案：或
解：如图，作于，
∵，
∴，
∴当时，与射线相切，此时只有一个交点；
当时，与射线有两个交点；
∴当时，与射线只有一个交点；
综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或，
故答案为：或．
15. 如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点
为的中点，若，，则的最大值为 ______．
答案：
解：延长交于点，连接，
∵，即，是的直径，
∴，
∵点为的中点，
∴，
当取最大值时，也取得最大值，
设的半径为，则，
在中，，
∴，解得：，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的每一个外角的度数．
答案：（1）8 （2）
【小问1详解】
解：设这个多边形的边数为n，
∵一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，
∴正多边形的内角和是外角和的3倍，
∴，
解得，
答：这个多边形的边数是8；
【小问2详解】
，
答：这个多边形的每一个外角的度数为．
17. 如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD．
（1）求证：．
（2）若，，求的长度．
答案：（1）见解析 （2），见解析
【小问1详解】
证明：连接，
∵是直径，弦，
∴．
∴．
又∵．
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，，则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴的长度．
18. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1.2m的圆，如图所示，若水面宽．，求水的最大深度（精确到0.1，）．
答案：水的最大深度为
如图，过点作于点，连接，
，，
，
，
直径为，
，
在中，根据勾股定理，
可得，
，
水的最大深度为．
19. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点，，．
（1）顶点D的坐标为；
（2）将正方形绕点O逆时针旋转得正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，在图中画出正方形，并写出其各顶点的坐标．
答案：（1）顶点的坐标为，
（2）图见解析，顶点坐标为，，，．
【小问1详解】
解：由图可知，顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：顶点，，，绕点O逆时针旋转得到，，，，依次连接，，，，得到正方形，则正方形即为所求，如图：
∴顶点坐标为：，，，．
20. 如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
，
于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：过点作于，如图所示：
，
，
是等边三角形，
，
在，
，
在，
，
．
21. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
答案：每本画册应降价4元．
设这种画册每本降价x元，
由题意可得，，
整理得，
解得，，
∵要求每本售价不低于55元，
∴符合题意．
故每本画册应降价4元．
22. 如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分弓形的面积．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
23. 如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（）
（1）求圆弧所在圆的半径：
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道?
答案：（1）
（2）能通过，见解析
【小问1详解】
解：设圆心为点O，半径为，连接，设与交于点F，
∵ 隧道的顶端E是圆弧的中点，高出道路（），
∴，
∵ 矩形的长为宽为，
∴，且之间的距离为，
∴，，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
故圆弧所在圆半径为．
【小问2详解】
解：在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得，
根据勾股定理，得，
由点O到的距离为，
故点G到到的距离为，
故这辆货运卡车能通过该隧道．
24. 如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过．

（1）求二次函数的解析式；
（2）点为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）为二次函数上一点，为轴上一点，当成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标．
答案：（1）
（2）
（3）或或或
【小问1详解】
解：根据题意，将点代入函数，
可得，解得,
∴该二次函数的解析式为；
【小问2详解】
设直线的函数解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的函数解析式为，
设点，
则
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为4，
此时，
即点的坐标为；
【小问3详解】
点坐标为或或或，理由如下：
对于二次函数，若时，
可有，
解得，，
∴点关于该二次函数图象的对称轴的对称点为，
若四边形是平行四边形，如下图，

则，，
∴，，
∴，
此时，点的坐标为；
若四边形是平行四边形，如下图，

∴，，
∴，
此时，点的坐标为；
设
若四边形为平行四边形，如下图，

则，，
∵点向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点，
∴点向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点，
∴，
∵点为二次函数上一点，
∴，
解得，
∴此时，点坐标为或，如下图所示，

综上所述，点的坐标为或或或．