海南省海口市华侨中学高一下学期期中数学试卷

这是一份海南省海口市华侨中学高一下学期期中数学试卷，共49页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若向量a→=(x，2)，b→=(−1，3)，且a→⋅b→=3，则x＝（ ）
A．﹣3B．3C．53D．−53
2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=3ac，则角B的值为（ ）
A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3
3．（5分）如图，在△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，则（ ）
A．AE→=13AB→−12AC→B．AE→=13AB→+12AC→
C．AE→=16AB→−12AC→D．AE→=16AB→+12AC→
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b=32，则B的大小为（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
5．（5分）已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=10，则AB→⋅BC→=（ ）
A．−34B．−32C．32D．34
6．（5分）时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sin(π8t−π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）（sin3π10≈0.8）
A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h
7．（5分）若sin（π6−α）=13，则cs（2π3+2α）等于（ ）
A．−79B．−13C．13D．79
8．（5分）O是△ABC所在平面上一点，若(OA→+OB→)⋅AB→=(OB→+OC→)⋅BC→=(OA→+OC→)⋅AC→=0，则O是△ABC的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
二、多项选择题（每道题全部选对得5分，漏选得2分，错选、不选得0分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列等式成立的是（ ）
A．cs215°−sin215°=32
B．12sin40°+32cs40°=sin70°
C．sinπ8csπ8=24
D．tan15°=2−3
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．模相等的两个向量是相等向量
B．若2OA→+OB→+3OC→=0→，则S△AOC：S△ABC＝1：6
C．两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|=|a→|+|b→|，则a→，b→共线且反向
D．设向量a→，b→，均为单位向量，且|a→+b→|=1，则a→与b→的夹角为2π3
（多选）11．（5分）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA＞csB恒成立
C．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为锐角三角形
D．若AC→⋅AB＞|AB|2，则△ABC为钝角三角形
（多选）12．（5分）三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP→=2PC→，点M、N在过点P的直线上，若AM→=mAB→，AN→=nAC→，（m＞0，n＞0），则下列结论正确的是（ ）
A．1m+2n为常数
B．m+2n的最小值为3
C．m+n的最小值为169
D．1m2+1n2的最小值为95
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若α∈(−π2，0)，sin(π−α)=−23，则sin(3π+α)+sin(π2−α)= ．
14．（5分）已知|a→|=2，b→在a→上的投影向量为−2a→，则a→⋅b→= ．
15．（5分）需要测量某塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB＝75°，∠ABD＝45°，AB＝96米，在点A处测得塔顶C的仰角为30°，则塔高CD为 米
16．（5分）如图，边长为2的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合．将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为

；在滚动过程中，OB→⋅OP→的取值范围为

．
三、解答题（本大题共6小题，共24.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量a→，b→，c→是同一平面内的三个向量，其中a→=（1，﹣1）．
（1）若|c→|＝32，且c→∥a→，求向量c→的坐标；
（2）若b→是单位向量，且a→⊥（a→−2b→），求a→与b→的夹角θ．
18．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcsA+32a=c．
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，c=3b，求△ABC的面积．
19．（12分）已知函数f(x)=3sin2x+cs2x．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图像；
（2）先将函数y＝f（x）的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图像，求g（x）在[0，2π]上的取值范围．
20．（12分）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
21．（12分）已知向量m→=（3csωx，﹣1），n→=（sinωx，cs2ωx）（ω＞0），函数f（x）=m→•n→图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x0∈[π4，7π12]且f（x0）=33−12，求cs2x0的值．
22．（12分）如图，平面四边形ABCD的对角线相交于四边形内部，AB=3，BC＝1，AC⊥CD，∠ADC=π6．
（1）若∠ABC=5π6，求sin∠BCD的值；
（2）记∠ABC＝θ，当θ变化时，求BD长度的最大值．
海南省海口市华侨中学高一（下）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共4小题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若向量a→=(x，2)，b→=(−1，3)，且a→⋅b→=3，则x＝（ ）
A．﹣3B．3C．53D．−53
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由向量数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：因为向量a→=(x，2)，b→=(−1，3)，且a→⋅b→=3，
所以﹣x+6＝3，解得x＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=3ac，则角B的值为（ ）
A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3
【考点】余弦定理．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】通过余弦定理求出csB的值，进而求出B．
【解答】解：∵a2+c2−b2=3ac，
∴根据余弦定理得csB=(a2+c2−b2)2ac=32，即csB=32，
∴csB=32，又在△中所以B为π6．
故选：A．
【点评】本题考查了余弦定理的应用．注意结果取舍问题，在平时的练习过程中一定要注意此点．
3．（5分）如图，在△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，则（ ）
A．AE→=13AB→−12AC→B．AE→=13AB→+12AC→
C．AE→=16AB→−12AC→D．AE→=16AB→+12AC→
【考点】平面向量的基本定理；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】计算题；数形结合；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据AE→=AC→+CE→，由平面向量的基本定理可解决此题．
【解答】解：因为点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，
所以AE→=AC→+CE→=AC→+12CD→=AC→+12（CA→+AD→）
=12AC→+12×13AB→=12AC→+16AB→，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查数学运算能力，属于基础题．
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b=32，则B的大小为（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【答案】A
【分析】由正弦定理求得sinB=12，再由大边对大角求得B的值．
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得 asinA=bsinB，即 6sin45°=32sinB，解得sinB=12．
∵b＜a，∴B＜A＝45°，∴B＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
5．（5分）已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=10，则AB→⋅BC→=（ ）
A．−34B．−32C．32D．34
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先利用余弦定理求出csB，再根据向量的数量积定义即可求出．
【解答】解：∵csB=AB2+BC2−AC22×AB×BC=9+10−16610=1020，
∴AB→•BC→=|AB→|•|BC→|cs（π﹣B）＝﹣|AB→|•|BC→|csB＝﹣3×10×1020=−32．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积，余弦定理求角的应用，属于基础题．
6．（5分）时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sin(π8t−π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）（sin3π10≈0.8）
A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】由T=20−10sin(π8t−π8)，令T＝20和T＝28，分别求得t的值，由题意可得所求结论．
【解答】解：T=20−10sin(π8t−π8)，
由T＝20，可得sin（π8t−π8）＝0，
即有π8t−π8=kπ，k∈Z，即t＝8k+1，k∈Z，
由5≤t≤17，可得t＝9或17（舍去）；
由T＝28，可得sin（π8t−π8）＝﹣0.8，
可得π8−π8t＝2kπ+3π10或2kπ+7π10，k∈Z，
即为t＝﹣16k﹣1.4或﹣16k﹣4.6，k∈Z，
由5≤t≤17，可得t＝14.6或11.4．
所以从开始开放到开始闭合约经历11.4﹣9＝2.4h．
故选：B．
【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
7．（5分）若sin（π6−α）=13，则cs（2π3+2α）等于（ ）
A．−79B．−13C．13D．79
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简cs(2π3+2a)为sin(π6−α)的表达式，然后代入sin(π6−α)的值，求解即可．
【解答】解：cs（2π3+2α）＝﹣cs（π3−2α）
＝﹣cs[2（π6−α）]
＝﹣[1﹣2sin2(π6−α)]
＝﹣（1−29）=−79
故选：A．
【点评】本题考查二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．
8．（5分）O是△ABC所在平面上一点，若(OA→+OB→)⋅AB→=(OB→+OC→)⋅BC→=(OA→+OC→)⋅AC→=0，则O是△ABC的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【考点】三角形五心．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，推得|OA→|=|OB→|=|OC→|，即可求解．
【解答】解：(OA→+OB→)⋅AB→=(OA→+OB→)⋅(OB→−OA→)=0，即|OB→|=|OA→|，
同理可得，|OB→|=|OC→|，|OC→|=|OA→|，
故|OA→|=|OB→|=|OC→|，即O是△ABC的外心．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的五心，属于基础题．
二、多项选择题（每道题全部选对得5分，漏选得2分，错选、不选得0分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列等式成立的是（ ）
A．cs215°−sin215°=32
B．12sin40°+32cs40°=sin70°
C．sinπ8csπ8=24
D．tan15°=2−3
【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用倍角公式变形求解A与C，利用两角和与差的三角函数计算判断B与D．
【解答】解：cs215°−sin215°=cs30°=32，故A正确；
12sin40°+32cs40°=sin40°cs60°+cs40°sin60°＝sin100°＝sin80°，故B错误；
sinπ8csπ8=12⋅2sinπ8csπ8=12sinπ4=24，故C正确；
tan15°＝tan（45°﹣30°）=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1−331+33=2−3，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查倍角公式的应用，考查两角和与差的三角函数，是基础的计算题．
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．模相等的两个向量是相等向量
B．若2OA→+OB→+3OC→=0→，则S△AOC：S△ABC＝1：6
C．两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|=|a→|+|b→|，则a→，b→共线且反向
D．设向量a→，b→，均为单位向量，且|a→+b→|=1，则a→与b→的夹角为2π3
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；命题的真假判断与应用．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据相等向量的定义即可判断A；设AC边上的中点为D，BC边上的中点为E，由2OA→+OB→+3OC→=0→，可得OE→=−2OD→，从而可得出点O所在的位置，即可判断B；根据数量积的运算律结合共线向量的定义即可判断C；由|a→+b→|=1平方即可判断D．
【解答】解：对于选项A，相等向量是方向相同且大小相等的向量，故选项A错误；
对于选项B，设AC边上的中点为D，BC边上的中点为E，
由2OA→+OB→+3OC→=0→，得2(OA→+OC→)+(OB→+OC→)=0→，
即4OD→+2OE→=0→，所以OE→∥OD→，
又∵O为公共端点，所以O是线段DE靠近点D的三等分点，
∴点O到边AC的距离等于点E到边AC的距离的13，
又∵点E到边AC的距离等于点B到边AC的距离12，
∴点O到边AC的距离等于点B到边AC的距离的16，
∴S△AOC：S△ABC＝1：6，故选项B正确；
对于选项C，由|a→−b→|=|a→|+|b→|，得a→2+b→2−2a→⋅b→=a→2+b→2−2|a→||b→|，
∴a→⋅b→=|a→||b→|cs〈a→，b→〉=−|a→||b→|，∴cs〈a→，b→〉=−1，
∴〈a→，b→〉=π，即a→，b→共线且反向，故选项C正确；
对于选项D，对|a→+b→|=1两边平方得：a→2+b→2+2a→⋅b→=1，∴a→⋅b→=−12，
则cs〈a→，b→〉=−12，
又∵0＜〈a→，b→〉＜π，∴〈a→，b→〉=2π3，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了向量的相关概念，考查了向量的数量积运算，属于中档题．
（多选）11．（5分）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA＞csB恒成立
C．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为锐角三角形
D．若AC→⋅AB＞|AB|2，则△ABC为钝角三角形
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；综合法；解三角形；直观想象；运算求解．
【答案】BD
【分析】A选项，得到A＝B或A+B=π2，判断△ABC是等腰三角形或直角三角形；
B选项，利用△ABC是锐角三角形，得到A，B∈（0，π2）且A+B＞π2，结合正弦函数的单调性得到sinA＞csB；
C选项，利用正弦定理得到a2+b2＜c2，得到C为钝角；
D选项，利用平面向量数量积运算法则得到|AC→|•csA＞|AB|，结合余弦定理化简得到c2+a2＜2，判断出B为钝角．
【解答】解：由sin2A＝sin2B，可得2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B=π2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
若△ABC是锐角三角形，则A，B∈（0，π2）且A+B＞π2，所以A＞π2−B，
因为y＝sinx在x∈（0，π2）上单调递增，故sinA＞sin（π2−B），即sinA＞csB，故B正确；
由sin2A+sin2B+cs2C＜1，可得sin2A+sin2B＜1﹣cs2C＝sin2C，
由正弦定理得：a2+b2＜c2，
所以csC=a2+b2−c22ab＜0，所以C为钝角，△ABC为钝角三角形，C错误；
因为AC→⋅AB＞|AB|2，即|AC→|•|AB→|csA＞|AB|2，
所以|AC→|•csA＞|AB|，即b×b2+c2−a22bc＞c，
整理得：c2+a2＜b2，
所以csB=a2+c2−b22ac＜0，故B为钝角，△ABC为钝角三角形，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了对三角形形状的判断、诱导公式的应用、向量的数量积运算及正弦函数的单调性，属于中档题．
（多选）12．（5分）三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP→=2PC→，点M、N在过点P的直线上，若AM→=mAB→，AN→=nAC→，（m＞0，n＞0），则下列结论正确的是（ ）
A．1m+2n为常数
B．m+2n的最小值为3
C．m+n的最小值为169
D．1m2+1n2的最小值为95
【考点】基本不等式及其应用；平面向量的基本定理．
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用三点共线可得13m+23n=1，然后利用基本不等式和构造二次函数，即可判断正误．
【解答】解：对于A：P是斜边BC上一点，且满足BP→=2PC→，
则AP→=13AB→+23AC→，
若AM→=mAB→，AN→=nAC→，则AP→=13mAM→+23nAN→，
又由M、P、N三点共线，可得13m+23n=1，
所以1m+2n=3，故1m+2n为常数，A选项正确；
对于C：m+n=13(1m+2n)(m+n)=13[3+2mn+nm]≥13[3+2×2mn×nm]=1+223，
当且仅当n=2m时等号成立，C选项错误；
对于B：m+2n=13(1m+2n)(m+2n)=13[5+2mn+2nm]≥13[5+2×2mn×2nm]=3，当且仅当2mn=2nm，即m＝n＝1时等号成立，
则m+2n的最小值为3，B选项正确；
对于D：∵1m＞0，1n＞0，1m+2n=3，∴1m=3−2n＞0，0＜1n＜32，1m2+1n2=(3−2n)2+1n2=51n2−121n+9=5(1n−65)2+95≥95，
即当1n=65，1m=3−2n=35时，1m2+1n2的最小值为95，D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查基本不等式相关知识，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若α∈(−π2，0)，sin(π−α)=−23，则sin(3π+α)+sin(π2−α)= 2+53 ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】2+53．
【分析】先根据诱导公式求出sinα，再根据平方关系求出csα，再利用诱导公式化简即可得解．
【解答】解：因为sin(π−α)=sinα=−23，
又因α∈(−π2，0)，所以csα=1−sin2α=53，
则sin(3π+α)+sin(π2−α)=−sinα+csα=2+53．
故答案为：2+53．
【点评】本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
14．（5分）已知|a→|=2，b→在a→上的投影向量为−2a→，则a→⋅b→= ﹣8 ．
【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】﹣8．
【分析】根据投影向量的计算公式计算即可．
【解答】解：b→在a→上的投影向量为a→⋅b→|a→|⋅a→|a→|=a→⋅b→4⋅a→=−2a→，
所以a→⋅b→=−8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查投影向量的计算公式，属于基础题．
15．（5分）需要测量某塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB＝75°，∠ABD＝45°，AB＝96米，在点A处测得塔顶C的仰角为30°，则塔高CD为 322 米
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】322．
【分析】根据正弦定理，直角三角形的三角函数，即可求解．
【解答】解：因为在△BAD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝45°，AB＝96米，
所以∠ADB＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，即9632=AD22，解得AD=326（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，所以CD=ADtan30°=322，即塔高CD=322（米）．
故答案为：322．
【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，方程思想，属中档题．
16．（5分）如图，边长为2的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合．将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为
4π3
；在滚动过程中，OB→⋅OP→的取值范围为
[0，32]
．
【考点】归纳推理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】43π；[0，32]．
【分析】由已知可得，点B的轨迹为两个圆心角为2π3的圆弧，由此求出B的轨迹长度，分别求出点B在滚动前后纵坐标的最大值，并求出P（0，3），由此可求出OB→⋅OP→的取值范围．
【解答】解：由题意知，点B的轨迹为两个圆心角为2π3，半径为1的圆弧，
故B点轨迹长度为：2×1×2π3=4π3．
OP→=32，设B（x，y）；
①没滚动前B（0，32），所以OB→⋅OP→=34，
②第一次滚动后B的纵坐标y≤1，所以OB→⋅OP→≤32，
③第二次滚动后B（32，0），所以OB→⋅OP→=0；
④第三次滚动后B点纵坐标y≤1，所以以OB→⋅OP→≤32．
综上，OB→⋅OP→的最大值为32．
故答案为：43π；[0，32]．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算及性质，以及学生分析与解决问题的能力．属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共24.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知向量a→，b→，c→是同一平面内的三个向量，其中a→=（1，﹣1）．
（1）若|c→|＝32，且c→∥a→，求向量c→的坐标；
（2）若b→是单位向量，且a→⊥（a→−2b→），求a→与b→的夹角θ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，计算求得结果．
（2）由题意利用两个向量垂直的性质求得a→⋅b→ 的值，再利用两个向量的夹角公式求得csθ，可得θ的值．
【解答】解：（1）∵|c→|＝32，且c→∥a→，a→=（1，﹣1），设c＝xa→=（x，﹣x），∴x2+（﹣x）2＝18，
求得x＝±3，
故c→=（﹣3，3）或 c→=（3，﹣3）．
（2）因为|a→|=2，且a→⊥（a→−2b→），
所以，a→•（a→−2b→）＝0，即a→2﹣2a→•b→=0，所以a→•b→=1，
故cs θ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=22，
∵0≤θ≤π，∴θ=π4．
【点评】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质、两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式，属于基础题．
18．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcsA+32a=c．
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，c=3b，求△ABC的面积．
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）B=π6；
（2）23或43．
【分析】（1）由正弦定理化简后求解；（2）由正余弦定理与面积公式求解．
【解答】解：（1）由正弦定理化简得：
sinBcsA+32sinA=sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
得csB=32，而B∈（0，π），故B=π6；
（2）由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accsB，而a=4，c=3b，
化简得b2﹣6b+8＝0，解得b＝2或b＝4，
当b＝2时，S△ABC=12acsinB=23，
当b＝4时，S△ABC=12acsinB=43，
故△ABC的面积为23或43．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
19．（12分）已知函数f(x)=3sin2x+cs2x．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图像；
（2）先将函数y＝f（x）的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图像，求g（x）在[0，2π]上的取值范围．
【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）作图如下：
（2）[﹣1，2]．
【分析】（1）化简f（x）的解析式，根据五点作图法画出图像；
（2）先求得g（x）的解析式，然后根据三角函数值域的求法求得正确答案．
【解答】解：（1）f(x)=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
作图如下：
（2）将函数y＝f（x）的图像向右平移π6个单位，得到y=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)=2sin(12x−π6)，
当0≤x≤2π时，0≤12x≤π，−π6≤12x−π6≤5π6，−12≤sin(12x−π6)≤1，−1≤2sin(12x−π6)≤2，
所以g（x）在[0，2π]上的取值范围是[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查了“五点法”作三角函数的图象，考查了三角函数图象的变换，属于中档题．
20．（12分）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
【考点】三角函数应用．
【专题】计算题；整体思想；演绎法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）ℎ=2sin(π2t−π6)+1(t⩾0)；（2）43秒．
【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后结合题意和物理意义确定参数值即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）中函数的解析式求解三角不等式即可确定有多长时间点P距水面的高度超过2米．
【解答】解：（1）如下图所示，标出点M与点N，设h＝Asin（ωt+φ）+k（t⩾0），
根据题意可知，OM＝1，ON＝OP0＝2，所以∠OP0M=∠NOP0=π6，
根据函数h＝Asin（ωt+φ）+k（t⩾0）的物理意义可知：
A=OP0=2，k=1，φ=−π6，
又因为函数 ℎ=2sin(ωt−π6)+1(t⩾0)的最小正周期为T＝4，
所以 ω=2πT=π2，
所以可得：ℎ=2sin(π2t−π6)+1(t⩾0)．
（2）根据题意可知，ℎ=2sin(π2t−π6)+1＞2，即sin(π2t−π6)＞12，
当水轮转动一圈时，t∈[0，4]，可得：π2t−π6∈[−π6，11π6]，
所以此时π6＜πt2−π6＜5π6，
解得23＜t＜2，
又因为2−23=43 （秒）即水轮转动任意一圈内，有43秒的时间点P距水面的高度超过2米．
【点评】本题主要考查三角函数模型及其应用，三角不等式的解法等知识，属于中等题．
21．（12分）已知向量m→=（3csωx，﹣1），n→=（sinωx，cs2ωx）（ω＞0），函数f（x）=m→•n→图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x0∈[π4，7π12]且f（x0）=33−12，求cs2x0的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】方程思想；综合法；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）＝sin（2ωx−π6）−12，由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式
（2）由f（x0）=33−12，可得sin（2x0−π6）=33．cs（2x0−π6）=−63．由cs2x0＝cs[（2x0−π6）+π6 即可计算得解．
【解答】解：（1）f(x)=3sinωxcsωx−cs2ωx=32sinωx−1+csωx2．
＝sin（2ωx−π6）−12，…（4分）
∵T＝π，∴ω＝1，即f(x)=sin(2x−π6)−12⋯（7分）
（2）∵f（x0）=33−12，∴sin（2x0−π6）=33．
∵x0∈[π4，7π12]，∴2x0−π6∈[π3，π]，…（8分）
∴sin（2x0−π6）=33＜32．
∴2x0−π6∈[2π3，π]，∴cs（2x0−π6）=−63．…（12分）
∴cs2x0＝cs[（2x0−π6）+π6]＝cs（2x0−π6）csπ6−sin（2x0−π6）sinπ6=−32+36⋯（14分）
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
22．（12分）如图，平面四边形ABCD的对角线相交于四边形内部，AB=3，BC＝1，AC⊥CD，∠ADC=π6．
（1）若∠ABC=5π6，求sin∠BCD的值；
（2）记∠ABC＝θ，当θ变化时，求BD长度的最大值．
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）sin∠BCD=5714．
（2）BDmax＝5．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可得AC的值，由正弦定理可得sin∠ACB，利用同角三角函数基本关系式可求cs∠ACB，利用诱导公式可求sin∠BCD的值．
（2）在△ABC中，利用余弦定理可求AC的值，利用正弦定理可得sin∠ACB=3sinθAC，在△ACD中，可求CD的值，在△BCD中，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用可求BD2＝12sin（θ−π3）+13，利用正弦函数的性质即可求解其最大值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC=5π6，AB=3，BC＝1，
由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cs∠ABC＝7，
可得AC=7，
由正弦定理ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，可得sin∠ACB=2114，
所以cs∠ACB=5714，
故sin∠BCD＝sin（90°+∠ACB）＝cs∠ACB=5714．
（2）在△ABC中，有AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cs∠ABC，
即AC=4−23csθ，
由ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，即sin∠ACB=3sinθAC，
在△ACD中，∠ADC=π6，AC⊥CD，故CD=3AC，
在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cs∠BCD，
即BD2＝1+3（4﹣23csθ）﹣2×1×CD×cs（π2+∠ACB）
＝13﹣63csθ+2CDsin∠ACB
＝13﹣63csθ+2CD•3sinθAC
＝6sinθ−63csθ+13
＝12sin（θ−π3）+13，
因为BD＞0，故BD2最大时，BD也最大，
当sin（θ−π3）＝1，即θ=5π6时，BD最大，（BD2）max＝25，
故BDmax＝5．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b≥2ab．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2+1≥2．C：sinx+4sinx≥4．D：a∈R+，(3−a)(1−3a)≤0．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜1时，如何求y=x+1x2+2的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，y=xx2+2=1x+2x，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤24，
若x＜0时，−24≤y＜0，
综上得，可以得出−24≤y≤24，
∴y=xx2+2的最值是−24与24．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8−2x2）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y=x2+7x+10x+1(x＞−1)的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=（x+1）+4x+1+5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ax的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
4．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T=2πω，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，π2，π，3π2，2π，求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则 A叫做振幅，T=2πω叫做周期，f=1T叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为π|ω|．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
5．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
6．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M−m2，k=M+m2，ω由周期T确定，即由2πω=T求出，φ由特殊点确定．
7．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
8．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2tanα1−tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
=1−cs2x2+sin2x
＝sin2x−12cs2x+12
=52sin（2x+φ）+12，（tanφ=−12）
∴其周期T=2π2=π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
9．三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2−x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（π2−x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（π2−x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（π2−x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cs（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cs（﹣570°）的值等于
解：sin60°=32，cs(−45°)=cs45°=22，sin(−420°)=sin(−1×360°−60°)=−sin60°=−32，cs(−570°)=cs(−1×360°−210°)=cs210°=cs(180°+30°)=−cs30°=−32，
∴原式=32×22−(−32)(−32)=6−34．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cs（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cs30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【命题方向】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
10．三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
11．平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|a→|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB→|．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是AB→|AB→|）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
12．平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜0时，λa→的方向与a→的方向相反．
当λ＝0时，λa→与a→平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a→=λb→
（2）向量数乘运算的法则
①1a→=a→；（﹣1）a→=a→；
②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ（λa→）；
③（λ+μ）a→=λa→+μa→；
④λ（a→+b→）＝λa→+λb→．
一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+μb→，则称l→可以用a→，b→线性表示．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→与b→和夹角为θ，则：
（1）a→⋅e→=e→⋅a→=|a→|csθ；
（2）a→⊥b→⇔a→⋅b→=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→，b→方向相反时，a→⋅b→=−|a→||b→|；
特别地：a→⋅a→=|a→|2或|a→|=a→⋅a→（用于计算向量的模）
（4）csθ=a→⋅b→|a→||b→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a→⋅b→|≤|a→||b→|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a→⋅b→=b→⋅a→；
（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b→）=a→•（λb→）；
（3）分配律：（a→⋅b→）•c→≠a→•（b→⋅c→）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=a→2−b→2．③a→•（b→•c→）≠（a→•b→）•c→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；
⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”，
即③错误；
∵|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→投影，A1B1叫做向量a→在向量b→上的投影向量．
向量a→在向量b→上的投影向量是|a→|csθb→|b→|．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|csθ叫作向量a→在向量b→上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→csθ（其中e→为与b→同向的单位向量），它是一个向量，且与b→共线，其方向由向量a→和b→夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→在a→方向上的投影向量为|b→|csθa→|a→|．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
15．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
16．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
17．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量(−35，45)垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵(−35，45)•（3，﹣4）=−95−165=−5，∴A不成立；
对于B：∵(−35，45)•（﹣4，3）=125+125=245，∴B不成立；
对于C：∵(−35，45)•（4，3）=−125+125=0，∴C成立；
对于D：∵(−35，45)•（4，﹣3）=−125−125=−245，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量(−35，45)和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
18．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
3．S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
②S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
③S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
21．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC=abc4R；
⑤S△ABC=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
22．三角形五心
【知识点的认识】
三角形五心包括：
（1）重心
（2）外心
（3）内心
（4）垂心
（5）旁心．
23．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
A1具有属性pA2具有属性p⋯An具有属性p⇒S类事物中的每一个对象都可能具有属性p
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11=1+112×6=36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
B
B
A
B
题号
9
10
11
12
答案
ACD
BCD
BD
ABD
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
2x+π6
π6
π2
π
3π2
2π
13π6
y
1
2
0
﹣2
0
1
x
−φω
−φω+π2ω
π−φω
3πω−φω
2π−φω
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y＝Asin（ωx+φ）
0
A
0
﹣A
0
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA=b2+c2−a22bc，
csB=a2+c2−b22ac，
csC=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A=b2+c2−a22bc，
cs B=a2+c2−b22ac，
cs C=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
A2+B2=π2−C2，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA=b2+c2−a22bc
csB=a2+c2−b22ac
csC=a2+b2−c22ab
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△=12aha=12bhb=12chc
②S△=12absinC=12acsinB=12bcsinA
③S△=abc4R
④S△=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑤S△=12（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA=2S△bc
sinB＝
2S△ac
sinC=2S△ab