辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 含解析

这是一份辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了 在的展开式中，则， 已知直线与圆交于两点，则等内容，欢迎下载使用。
总分150分 时间120分钟
命题：杨晓东 郭欣 葛冰 阮征 石婧 审核：杨晓东
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角.
【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率，
又因为倾斜角，且，所以.
故选：C
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程可直接求解.
【详解】由标准方程可得，即；
所以准线方程为.
故选：A
3. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内含B. 内切C. 外切D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】求圆与圆的圆心及半径，再求圆心距及半径的和与差，结合圆与圆的位置关系的定义判断结论.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
，
，
所以圆与圆相交，
故选：D.
4. 一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（ ）
A. 35种B. 32种C. 16种D. 14种
【答案】C
【解析】
【分析】求出从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球的取法，求出其中全部为白球的取法即可求解.
【详解】从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法，
其中全部为白球有种取法，
则至少含有1个红球和1个白球的取法有种.
故选：C.
5. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意
，
所以，解得，
故选：B
6. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ）
A. 90种B. 180种C. 60种D. 120种
【答案】A
【解析】
【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解.
【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法，
再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法，
所以所求的不同的分配方案有种.
故选：A.
7. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果.
【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由可设，则，
因此，
显然，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则；
所以，
设直线与平面所成的角为，
所以.
故选：A
8. 已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率.
【详解】
由题意得，.
设，则，
∵点在椭圆上，∴，
两式相减得，，即，
∴，∴，
∴C的离心率.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在的展开式中，则（ ）
A. x的系数为135B. 第4项的二项式系数为10
C. 无常数项D. 所有项的系数之和为125
【答案】BC
【解析】
【分析】求出二项展开式的通项公式，再逐项计算判断即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
对于A，令，则，故的系数为，
故A错误；
对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确；
对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确；
对于D，令，则所有项系数之和为，故D错误；
故选：BC.
10. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. 直线恒过定点B. 圆与轴相切
C. 最大值为2D. 的面积最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，当时，，可判断；选项B，圆心到轴的距离为半径可判断；选项C，直线的定点在圆上，故最大为直径2；选项D，设到的距离为，则，进而可得.
【详解】选项A：当时，，故直线恒过定点，故A错误；
选项B：圆圆心为，半径为，由圆心到轴的距离为，即等于半径，
故圆与轴相切，故B正确；
选项C：由题意在圆上，
故当为圆的直径时，最大为2，故C正确；
选项D：设到的距离为，则，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故D正确，
故选：BCD
11. 已知正三棱柱中，，且满足，，则（ ）
A. 当时，与所成角的余弦值为
B. 当时，平面平面
C. 存在，，使平面平面
D. 存在，，使二面角为钝角
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用异面直线成角、面面平行、面面垂直和二面角的向量求法逐项判断即可.
【详解】因为三棱柱是正三棱柱，取，中点，，
分别以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，
，，，，
选项A：当时，，，
此时与所成角的余弦值为，说法正确；
选项B：当时，，，，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，解得平面的一个法向量，
，解得平面的一个法向量，
因无解，所以平面与平面不平行，B说法错误；
选项C：显然当，，即与重合，与重合时，
由正三棱柱的性质可知平面 平面，C说法正确；
选项D：过作，垂足为，过作，垂足为，
因为四边形为正方形，故，同理，
故，故，
所以，同理，，
所以，而，
故，所以，
故为锐角即的平面角为锐角，
而的平面角不超过的平面角，
故二面角的平面角小于，故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则__________.
【答案】2或14
【解析】
【分析】利用双曲线标准方程及其定义计算即可求出结果.
【详解】由双曲线可知，
所以，因此的最小值为；
再由双曲线定义可知，
可知2或14.
故答案为：2或14
13. 计算：__________.（结果用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用可求代数式的值.
【详解】
，
故答案为：
14. 已知椭圆的左右焦点为，，双曲线（，）的左右顶点分别为，，C与D在第一，第二象限的交点为，则__________；若直线，的斜率之积为，则D的渐近线方程为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据图形的对称性及椭圆定义可得的值；设，，表示，根据点在双曲线上可求得的值，即可得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，则.
由图形对称性得，，
∴.
设，则，则，，
∴，
∵点在双曲线上，∴，故，
∴，解得，
∴D的渐近线方程为，即.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用点在双曲线上，结合直线、的斜率之积确定的值，即可得到双曲线的渐近线方程.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，是椭圆的焦点，，且过点.
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，，求的面积.
【答案】（1）
（2）2.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和焦距长代入标准方程即可求得结果；
（2）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得，再由的面积是的面积的一半即可求解.
【小问1详解】
因为是椭圆短半轴的一个顶点，则，
又，则，
由，则，
所以C的方程为.
【小问2详解】
如下图所示：
根据椭圆的定义及可得 ①
②
联立①②得，
则的面积为，
因为的面积是的面积为，
所以的面积为2.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，是边长为2的等边三角形，.
（1）证明：平面平面ABCD：
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）法一：由（1）可知平面PCD，过D作，由三垂线定理得到是二面角的平面角求解；法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，先求得平面APC的一个法向量为，再由是平面PCD的法向量，由求解.
【小问1详解】
证明： 因为，所以.
因为，，所以平面PCD.
因为平面ABCD，所以平面平面ABCD.
【小问2详解】
法一：因为，由（1）可知平面PCD.
如图所示：
在平面PCD内过D作，垂足为E，连结AE，
由三垂线定理可得，因此是二面角的平面角.
在等边中，，，所以.
于是二面角的余弦值为.
法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）可知z轴在平面PCD内.
则，，，，.
设平面APC的一个法向量为，
由，可得，可取.
又是平面PCD的法向量，故.
因为二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17. 已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线的斜率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程.
（2）设出点坐标，利用斜率坐标公式列式计算得解.
【小问1详解】
由点M到点的距离比它到直线的距离小2，
得点M到点的距离等于它到直线的距离，
因此点M的轨迹C是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以C方程为.
【小问2详解】
由（1）设点，，显然，
由直线AP，AQ的斜率之和为0，得，解得，
所以直线的斜率.
18. 如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点.
（1）求EF；
（2）求直线EF与BD所成的角的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）解法一：以为基底，根据结合空间向量的数量积运算求解即可；
解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，再根据两点间的坐标公式求解即可；
（2）解法一：根据空间向量数量积运算可得，结合求解即可；
解法二：根据空间向量的坐标运算求解即可.
【小问1详解】
解法一：以为基底，则，，.
因为.
因此
解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，
由，，所以，
在，中，得，
有，则，即AQ是的平分线，
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由三余弦定理知，得，
所以，，，，
则，，
所以.
【小问2详解】
解法一：因为
而，所以，
于是EF与BD所成的角的余弦值为.
解法2：
由（1）知，
所以，
于是EF与BD所成的角的余弦值为.
【点睛】
19. 某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可近似的看成双曲线.记双曲线（，），其渐近线方程为，且过点.
（1）求C的方程；
（2）在点处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为，其半径可变（范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点发射两条与相切的伽马射线，两条切线与电磁辐射隔离带分别交于，两点（异于点）.若经过点反射的光线不经过点，则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，将点代入双曲线方程可得，解方程求可得结论；
（2）设直线，的斜率分别为，，结合直线与圆的位置关系可得，联立直线与双曲线方程可求，再求的方程，证明直线过定点可得结论.
【小问1详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，
所以，即，
因为双曲线过点，
所以，
所以，
所以，，
所以的方程为.
【小问2详解】
当过点的直线与轴垂直时，不合题意，
设过点与圆相切的直线方程为，即
则与直线相切，得，
平方整理得，
当时，不合题意，所以
设直线，的斜率分别为，，则有，
设，，
由得
则有，，
同理，
则直线的斜率
所以直线
所以直线必过，故此光线屏蔽器所在位置的坐标为.