辽宁省丹东市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份辽宁省丹东市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共20页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线定义即可求.
【详解】由定义可知，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 种B. SKIPIF 1 < 0 种C. SKIPIF 1 < 0 种D. SKIPIF 1 < 0 种
【答案】D
【解析】
分析】由分步计数乘法原理即可求解
【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有 SKIPIF 1 < 0 种
故选：D
3. 已知椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.
【详解】设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题有： SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，故离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 6C. SKIPIF 1 < 0 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，代入第三个方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5. 在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的正切值为（ ）
A. 1B. 5C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，后结合题目条件可得答案.
【详解】如图，因几何体为正方体，则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角.
过E做直线 SKIPIF 1 < 0 垂线，交 SKIPIF 1 < 0 于F，则F为 SKIPIF 1 < 0 中点.
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到渐近线的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由点到直线距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 间关系，据此可得答案.
【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
7. 如图所示为某公园景观的一隅，是由 SKIPIF 1 < 0 五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有 SKIPIF 1 < 0 种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】依次确定区域 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】区域 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 种颜色鲜花可供选择，区域 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 种颜色鲜花可供选择，区域 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 种颜色鲜花可供选择，
区域 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 各有 SKIPIF 1 < 0 种颜色鲜花可供选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为 SKIPIF 1 < 0 种.
故选：B.
8. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A. 12B. 6C. 24D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，计算即可.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 化成标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 都过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品（全为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况（2个次品）.
【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：
抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法 SKIPIF 1 < 0 ；
抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法 SKIPIF 1 < 0 ；
故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误，B正确；
间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为 SKIPIF 1 < 0 ，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为 SKIPIF 1 < 0 ，
故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为 SKIPIF 1 < 0 ，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为 SKIPIF 1 < 0 ，
故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：BCD.
10. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】对ACD，由赋值法可判断；对B，由二项式展开项通项公式可求.
【详解】对A，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对B，由二项式展开项通项公式可得第2项为 SKIPIF 1 < 0 ，B错
对C，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对D，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：AC.
11. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，则下列表述正确的是（ ）
A. 当 SKIPIF 1 < 0 时，直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0
B. 当实数 SKIPIF 1 < 0 变化时，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0
C. 当直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行时，则两条直线的距离为1
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；
B选项，将直线方程整理为 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得直线所过定点；
C选项，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，后由平行直线距离公式可判断选项；
D选项，分别令 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线与 SKIPIF 1 < 0 轴，x轴交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则围成三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，后由基本不等式可判断选项.
【详解】A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线斜率为1，则倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
B选项，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C选项，因直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，则直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D选项，分别令 SKIPIF 1 < 0 ，可得直线与 SKIPIF 1 < 0 轴，x轴交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又交点在两坐标轴正半轴，则 SKIPIF 1 < 0 .故围成三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.即面积最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
12. 在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上的动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则（ ）
A. 当 SKIPIF 1 < 0 时，正方体各棱与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角相等
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时，存在 SKIPIF 1 < 0 使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 有且只有两个
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.
【详解】以D为原点， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
由此可得正方体各棱与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角相等，A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以这样点 SKIPIF 1 < 0 不可能有两个，C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公垂线段，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方向向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.
【详解】设异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在 SKIPIF 1 < 0 年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 SKIPIF 1 < 0 年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第 SKIPIF 1 < 0 行开始，每一行除 SKIPIF 1 < 0 外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则这一行是第______行．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设这一行为第 SKIPIF 1 < 0 行，且这三个数分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用组合数公式可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，解出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得解.
【详解】由题意可知，这一行为第 SKIPIF 1 < 0 行，且这三个数分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，这一行是第 SKIPIF 1 < 0 行.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的底面是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，平方后，利用数量积公式列出方程，求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于A，B两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______；椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为______．
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用几何知识求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，利用中点 SKIPIF 1 < 0 坐标求出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，即可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.设出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，利用点差法，即可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率.
【详解】由题意，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由几何知识得，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 所在 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴离心率： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于原点．
（1）求原点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点的坐标；
（2）求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得答案；
（2）因圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于原点，则圆 SKIPIF 1 < 0 过原点，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，又圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可求得圆心坐标与圆的半径.
【小问1详解】
设原点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则两个点的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
∵中点直线 SKIPIF 1 < 0 上，得到： SKIPIF 1 < 0 ①.
又过两个对称点的直线与已知直线垂直，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ②.
联立①②解得对称点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
过原点且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题圆心在 SKIPIF 1 < 0 上.
又圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，联立直线： SKIPIF 1 < 0 ，即圆心为 SKIPIF 1 < 0 .
由题原点在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则半径 SKIPIF 1 < 0 ，则所求圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
18. 如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】如图，建立以C为原点的空间直角坐标系.
（1）求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 成角正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
因为直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 底面三角形 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
则B（0，2，0），A（2，0，0），C（0，0，2）， SKIPIF 1 < 0 （0，2，2）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
19. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2） SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一动点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在第一象限）分别作 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的平行线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于P，Q，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；
（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，整理 SKIPIF 1 < 0 的表达式，利用整体思想，可得答案.
【小问1详解】
∵渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理：
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴得证 SKIPIF 1 < 0 为定值3．
20. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的动直线与 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点．
（1）若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求弦 SKIPIF 1 < 0 的长度；
（2）设A，B两点到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1）8 （2）4
【解析】
【分析】（1）先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后用弦长公式即可求解；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，然后用基本不等式进行求解即可
【小问1详解】
由抛物线 SKIPIF 1 < 0 可得焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 化简得： SKIPIF 1 < 0 ，经验证 SKIPIF 1 < 0 成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由题可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，又焦点 SKIPIF 1 < 0 ，所以设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 化简得： SKIPIF 1 < 0 ，经验证 SKIPIF 1 < 0 成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，即弦 SKIPIF 1 < 0 为通径时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是4．
21. 如图， SKIPIF 1 < 0 是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，请确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置，并说明理由；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值为 SKIPIF 1 < 0 时．求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，理由见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再通过线面平行的性质，即可确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置.
（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面 SKIPIF 1 < 0 和面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，即可求出二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【小问1详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，理由如下：
延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点.
又∵ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则由线面平行性质定理得 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点.
【小问2详解】
由题意，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1），可知 SKIPIF 1 < 0 轴在平面 SKIPIF 1 < 0 内．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1），可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ．
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 方程；
（2）曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于A，B两点（异于点 SKIPIF 1 < 0 ），连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 并延长分别交 SKIPIF 1 < 0 于D，C，试问：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）圆恒过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设动点 SKIPIF 1 < 0 ，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简后可得E方程；
（2）由（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，后设以CD为直径的圆上一点为Q，由 SKIPIF 1 < 0 可得圆方程，即可得圆所过定点.
【小问1详解】
设动点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立可得： SKIPIF 1 < 0 ，由题 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 .令以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上动点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则可得 SKIPIF 1 < 0 .
因所过定点与参数 SKIPIF 1 < 0 无关，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故圆恒过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点.
对于直线或圆过定点问题，都是先求得直线或圆的表达式，后令含参数的项为0，即可求得所过定点.