辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 含解析

这是一份辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 含解析，共13页。试卷主要包含了 已知函数对称中心为， 若函数的定义域为，且，，则， 若正实数，满足，则等内容，欢迎下载使用。
总分150分 时间120分钟
命题：杨晓东 孙晓欣 王洪东 姜磊 高志华 审核：杨晓东
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量平行的结论求参数.
【详解】因为，所以.
故选：A
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解集合中的一元二次不等式，写出集合，再利用集合的交集运算即可求解.
【详解】不等式可变形为，解得，
因为，所以，
因为，所以.
故选：D.
3. 样本数据13，11，14，14，16，20，22，24的分位数为（ ）
A. 16B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数定义计算即可得.
【详解】数据按从小到大排序：11，13，14，14，16，20，22，24.
因为，
所以数据的分位数为：.
故选：C
4. 已知命题，，命题，，则（ ）
A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】举出反例，得到假命题，举出实例，得到为真命题.
【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题，
命题，时，，故满足，为真命题.
故选：B
5. 已知函数对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心.
【详解】因为：.
由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象.
所以的对称中心为：.
故选：C
6. 若函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值.
【详解】令，可得，故，
令可得，即，解得，
令可得，即，解得.
故选：D.
7. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（ ）
A. 2.45B. 2.46C. 2.47D. 2.48
【答案】B
【解析】
【分析】先利用频率之和为1得到方程，求出，再利用中点值作代表，计算出平均数，得到答案.
【详解】，解得，
.
估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46
故选：B
8. 已知幂函数与指数函数的图象都过点，则（ ）
A. B.
C. D. 方程有两个解
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数、的解析式，代值计算可判断A选项，数形结合可判断BCD选项.
【详解】设，且，
则，可得，则，
，因为且，解得，所以，，
对于A选项，，，所以，，A错；
对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，当时，；当时，.
所以，，B错；
，C对；
函数、的图象有三个公共点，即方程有三个解，D错.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的平均数为10，方差为9，且，记的平均数为，方差为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式即可求解.
【详解】因为，所以，
故A错误，B正确；
因为，所以，即，
故C正确，D错误；
故选：BC.
10. 若正实数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式可判断ABC的真假，利用二次函数的性质可判断D的真假．
【详解】对A：因为，所以，当且仅当，即时取“”，故A错误；
对B：因为，
当且仅当，即时取“”，故B正确；
对C：因为，
又，所以.
所以，当且仅当时取“”，故C正确；
对D：由且，得，.
所以，.
所以当时，取得最小值，此时，，，故D正确.
故选：BCD
11. 已知向量、、都是单位向量，，则（ ）
A. B.
C. D. 与共线
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则，
所以，A对；
对于B选项，在等式两边平方可得，
即，则，则，
所以，故，B错；
对于C选项，因为，则，
所以，，
所以
，故，C对；
对于D选项，，
若与共线，则存在，使得，
即，可得，即，
这与矛盾，假设不成立，D错.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数求值即可得解.
【详解】由题意得：
则有，
故答案为：.
13. 在中，是上一点，且，用基底表示向量，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示：
在中，是上一点，且，则，
所以，，故.
故答案为：.
14. 函数是的反函数，记函数，则使成立的x的取值范围为__________.
【答案】，其中
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数，再分段并借助函数图象求解不等式.
【详解】依题意，，，
不等式，而，
当，即，不等式为，则，
解得或，因此或；
当，即时，不等式为，即，
则，在同一坐标系内作出函数，
函数图象在上有唯一交点，
即方程在上有唯一解，不等式在上的解为，
因此不等式在上解集为，
所以x的取值范围为，.
故答案为：，
【点睛】思路点睛：求出不等式在上的解集，作出函数图象，利用图象法求解不等式.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）设，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将两边取对数化简即可得解；
（2）由(1)解得，代入计算即可得解.
【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以.
（2）由，得，.
所以，，
则，故.
16. 已知函数.
（1）若为偶函数，求实数m的值；
（2）若对，，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出；
（2）变形得到，令，，故在上恒成立，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
因为为偶函数，所以，
所以
整理得，
因为，所以，即.
【小问2详解】
若对，，则有，
令，，所以函数在上恒成立，
只需，即，
解得，所以m的取值范围为.
17. 甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响.
（1）求第一轮比赛未分出胜负概率；
（2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析第一轮比赛未分出胜负的两种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解.
（2）明确甲在第3轮比赛时获胜的情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解.
【小问1详解】
记事件“甲第i轮投中”，“乙第i轮投中”，
第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，且与相互独立，
则第一轮比赛未分出胜负的概率.
【小问2详解】
甲在第3轮比赛时获胜，则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中，
表示为，
则甲在第3轮比赛时获胜的概率为
.
18. 已知函数（且），，.
（1）求a，b的值；
（2）若函数，求的值.
【答案】（1），
（2）2
【解析】
【分析】（1）由对数的运算即可求解；
（2）由（1）得到，进而得到，累加求和即可；
【小问1详解】
由题意得，，，所以，
【小问2详解】
由（1）知，，
则
所以，则
所以，
故.
19. 在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数.
已知.
（1）当，时，求的值；
（2）若，，求、的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）当，时，解方程，可得出集合，即可求得的值；
（2）分两种情况讨论，（i）有个零点，且其中一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值；（ii）有4个零点，且有一个为时，可得出，可求出函数的一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值.即可得解.
小问1详解】
当，时，，令，解得或，
所以，则.
【小问2详解】
根据可知，
（ⅰ）有个零点，
令，可知，即，
显然的个零点中必有，另外两个零点分别为、，
当时，，
因为，所以，即
将代入中得
由韦达定理可得，，，整理可得，
解得，，所以，；
（ⅱ）有4个零点，且有一个为时，则，
方程，
当时，解得或，
当时，得，
，则，
由韦达定理可得，，
因为，所以，整理可得，
解得，.
综上所述，或.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对函数的零点个数进行分类讨论，并通过已知条件结合解方程或韦达定理求解.