辽宁省丹东市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

这是一份辽宁省丹东市2023-2024学年高二上学期期末数学试题，共11页。试卷主要包含了已知O为坐标原点，，是椭圆C，已知二项式的展开式中，则，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
高二数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．经过点且倾斜角为90°的直线方程为
A．B．C．D．
2．抛物线的焦点坐标为
A．B．C．D．
3．圆与圆的位置关系是
A．外切B．相交C．内含D．外离
4．用0，1，2，3，4，5这六个数字排成无重复数字的两位数，这样的两位数共有
A．个B．个C．个D．个
5．已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为
A．B．C．D．
6．在正三棱柱中，，则直线与所成角为
A．30°B．45°C．90°D．135°
7．将甲、乙、丙、丁4个人全部分配到A，B，C三个地区工作，其中甲不能去A地区，且每个地区至少有1人，则不同的分配方案为
A．36种B．24种C．18种D．16种
8．如图所示，已知二面角-l-的棱上有A，B两点，，，，，若，，，则直线CD与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知二项式的展开式中，则
A．含项的系数为6B．第5项为常数项
C．各项系数和为64D．第3项的二项式系数最大
10．已知抛物线C：的焦点为F，，A，B是直线PF与C的两个交点，且，则
A．直线PF的斜率为B．C．D．
11．设O为坐标原点，，是椭圆C：的左右焦点，过的直线交C于P，Q两点，，则
A．的周长为16B．C的焦距为C．的面积为D．
12．已知平行六面体中，底面ABCD是正方形，，，，，则
A．B．
C．与平面ABCD所成角为60°D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算： ．
14．已知点关于直线l：的对称点为B，则B的坐标为 ．
15．已知直线l：与圆C：交C于A，B两点，点P是圆C上的动点，若使△PAB的面积是△CAB的面积的3倍，则点P的坐标为 ．
16．已知，是双曲线C：（，）的焦点，圆O：与C的一条渐近线交于点P（P在第一象限），若，则C的离心率 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知圆C经过点，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过B且与圆C相切的直线方程．
18．（12分）
已知椭圆C：，直线l不经过原点O也不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）求m的取值范围：
（2）当时，求证：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
19．（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，，△PAC是等边三角形，O为AC的中点，M为BC的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求直线PC与平面PAM所成角的正弦值．
20．（12分）
已知点A在直线l：上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且
（1）求点P的轨迹方程E；
（2）过点的直线与E交于两点M，N，OM⊥ON，求的值．
21．（12分）
如图，在直三棱柱中，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．
（1）在线段上是否存在点Q，使得PQ∥平面，并说明理由；
（2）若二面角的正弦值为，求线段的长．
22．（12分）
已知双曲线C：（，）的离心率为，右焦点为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左右顶点分别为，，过的直线与C交于M，N两点，M在第一象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．
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高二数学
一、选择题
1．C2．D3．B4．D5．A6．C7．B8．D
二、选择题
9．ABC10．BCD11．ACD12．ABD
三、填空题
13．7514．15．16．2
四、解答题
17．解：
（1）设所求圆C的方程为（），依题意得，作差得，所以圆C的标准方程为．
（2）设过B且与圆C相切的直线的斜率为k，直线BC的斜率为，因为，所以，则所求的切线方程为，即．
18．解：
（1）因为方程是椭圆，则满足，解得，且，所以m的取值范围为．
（2）当时．椭圆方程为，设l与C交于，，中点
所以有，，将A，B，化入椭圆中得，两式作差得，即，因为直线OM的斜率，
直线l的斜率，所以，直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
19．解：
（1）证明：因为平面PAC⊥平面ABC，且平面平面，平面PAC，△PAC是等边三角形，O为AC的中点，所以PO⊥AC，所以PO⊥平面ABC．
（2）因为AB⊥BC，，连接OB，所以OB⊥AC，
以O为坐标原点，OB的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
由题设得，，，，，，
，
设平面APM的法向量为，则，
即，可取，
设直线PC与平面PAM所成角为，，所以，
所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为．
20．解法一：
（1）设点，则，，，由，可得，即，点P的轨迹方程E为．
（2）设，，由OM⊥ON，知，由，可得．
直线MN：，即，点代入可得．
于是．
解法二：
（1）同解法1．
（2）可知MN不垂直于y轴，可设MN：，代入可得，因为，设，，设，．
由OM⊥ON，可得，即，可得，可得，即，．
于是．
21．解：
（1）存在点Q，当时，PQ∥面．
证明：取的中点D，连接，BD，DM，
设，所以
因为，且，所以
又因为，且，
，所以平面平面，
平面，所以PQ∥平面．
（2）解法一：
因为二面角与二面角互补，所以求二面角的平面角，过A作AE⊥CM，垂足为E，连接，根据三垂线定理，所以是二面角的平面角，因为，，，，所以．设，，因为，所以，即．
解法二：
以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所求的空间直角坐标系A-xyz，
设，由题设得，，，，，，，设平面的法向量 ，且，
所以，可取，平面CBM的一个法向量，
所以，则，解得，故．
22．解法一：
（1）依题意得，，所以，，所以C的方程为．
（2）设，，直线：，直线：．
由，得．
由，得，故．
由，得．
由，得，故．
由题设知，故，由题意知，故．
点，满足且，所以，点P在定直线上．
解法二：
（1）同解法1．
（2）可知MN不垂直于y轴，可设MN：（），代入可得，因为，设，，则．
由：，：，可得
．
从而，故点P在定直线上．
解法三：
（1）同解法1．
（2）可知MN不垂直于y轴，可设MN：（），代入可得，因为，设，，则，．
由：，：，可得
．
从而，故点P在定直线上．
解法四：
设，，当直线MN的斜率存在时，
设MN：（），
由，得，
所以，，
因为：，：，联立方程解得
因为
所以，
当直线MN的斜率不存在时，MN：，所以，
：，：
联立方程解得，故点P在定直线上．