重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．如果，，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．等边三角形的三个内角相等B．同位角相等，两直线平行
C．若，那么D．两个锐角之和一定是钝角
3．下列各式中，是不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（ ）
A．2B．C．3D．
5．在数轴上表示不等式的解集，下列表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，，点在边上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
8．下列说法正确的是（ ）
A．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
B．如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称．
C．等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合．
D．三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边距离相等．
9．在中，的对边分别记作，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果，那么是直角三角形
B．如果，那么是直角三角形
C．如果，那么为直角三角形
D．如果，那么是直角三角形且
10．如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．8B．9C．10D．11
二、填空题（本大题共8小题）
11．x与y的平方和不大于用不等式可表示为 ．
12．已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为 ．
13．不等式的解集是 ．
14．已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为 ．
15．如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ．
16．采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长至少是 ．
17．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ．
18．如图，在等腰直角中，，点为上一点，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接，交于点，若，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共7小题）
19．（）解不等式：；
（）解不等式组：．
20．如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：．
21．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想）
(1)若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少；
(2)已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少；
22．已知方程组的解满足，均为负数．
(1)求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值．
23．如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求度数．
24．为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求，的值；
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由．
25．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，且与的图象交于点．

(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
(3)求四边形的面积．
参考答案
1．【答案】A
【分析】不等式的基本性质为：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐一推导筛选即可得到答案．
【详解】解：A、，
，故此选项正确；
B、，，
，故此选项错误；
C、，，
，故此选项错误；
D、，，
，
，故此项错误；
故选A．
2．【答案】D
【分析】由等边三角形的三个内角相等可判断A，由平行线的判定可判断B，由绝对值的意义可判断C，通过举反例，比如 可判断D，从而可得答案.
【详解】解：等边三角形的三个内角相等，都等于．是真命题，故选项A不符合题意，
同位角相等，两直线平行是真命题，故选项B不符合题意；
若，则是真命题，故选项C不符合题意；
两个锐角的和不一定是钝角，比如所以两个锐角的和是钝角是假命题，故D符合题意；
故选D
3．【答案】C
【分析】由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解．
【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个，
故选C ．
4．【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
5．【答案】C
【分析】先移项，再合并同类项，把的系数化为，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
在数轴上表示为：
故选C．
6．【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，再根据平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
7．【答案】A
【分析】解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组无解，
∴，
故选A．
8．【答案】A
【分析】此题可根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及轴对称图形的性质依此排除选项即可．
【详解】解：A、到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，故符合题意；
B、如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，说法错误，故不符合题意；
C、等腰三角形底边上的中线、底边上的高线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，故不符合题意；
D、三角形两边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，原说法错误，故不符合题意．
9．【答案】D
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵，
∴设，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
故D符合题意；
故选D．
10．【答案】D
【分析】解二元一次方程组求出x，y的值，根据x>y得到关于m的不等式，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围，取交集，找出符合条件的所有整数m，即可求解．
【详解】解：解方程组得，
∵ x>y，
∴，
∴，
解不等式组得，
∴，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴，
∴，
∴，
∴整数m为5和6，
∴符合条件的所有整数m的和为11．
故选D．
11．【答案】
【分析】根据题目中的语句可知x的平方与y的平方之和不大于10，然后写出不等式即可．
【详解】解：根据题意，得
12．【答案】或
【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
13．【答案】
【分析】解不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得：
解得
14．【答案】5
【分析】先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解．
【详解】解：设“”表示的数为，
由题意得，解得，
由数轴得到不等式的解集为，
故，
解得．
则“”表示的数为5
15．【答案】
【分析】不等式的解集，就是指直线在直线的下方的自变量的取值范围，据此求解即可．
【详解】解：观察图象可知，
当时，直线在直线的下方，
不等式的解集为．
16．【答案】
【详解】解：设需要导火线的长为，
由题意得，，
解得，
∴需要导火线的长至少是
17．【答案】
【分析】根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，，，，
∵，
∴是直角三角形，
∵点D为的中点，
∴．
18．【答案】/度
【分析】在上截取，由与都是等腰直角三角形可得，，，，进而可得，由等边对等角可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，则，进而可得，利用可证得，，于是可得，，由，再结合，可得，进而可得，则是等边三角形，于是可得，由对顶角相等可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数．
【详解】解：如图，在上截取，
与都是等腰直角三角形，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
19．【答案】（）；（）
【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解；
（）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解；
【详解】解：（）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
（），
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为．
20．【答案】见解析
【分析】根据三角形三线合一的性质可得，在结合互余关系证明即可．
【详解】解：因为，是边上的中线，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
21．【答案】(1)
(2)，或，
【分析】（1）先判断不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数；
（2）分两种情况讨论：当是开心角时，则另一开心角为，由三角形的内角和定理即可求出剩余的一个角；当不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数，进而可求出剩余的一个角．
【详解】（1）解：若为开心三角形，，
当时，，
此时，不合题意，故舍去；
当时，，
此时，不合题意，故舍去；
或，
设这个三角形中最小的内角为，
则，
，
答：这个三角形最小的内角是；
（2）解：已知开心三角形的其中一个内角为，则可设，
当是开心角时，则另一开心角为，剩余的一个角为；
当不是开心角时，
设这个三角形中最小的内角为，
则，
，
则；
答：这个三角形的其他内角是，或，．
22．【答案】(1)
(2)整数m的值为
【分析】（1）将m当做已知数解方程组，把x和y用含有m的式子表示出来，再根据，均为负数，列出关于m的一元一次不等式组，解之即可；
（2）不等式的解为，根据不等式得性质得到，得到m的取值范围，再根据（1）m的范围，求得m最终的取值范围，即可得到答案．
【详解】（1）解：解方程组得：
，
∵，，
∴，
解得：；
（2）解：，
移项得：，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
又∵，
∴m的取值范围为，
∴整数m的值为．
23．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论；
（2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，，
，
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：∵，，
，
∵，
，
，
，
．
24．【答案】(1)a的值为100，b的值为150
(2)总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆；理由见解析
【分析】（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组求解m值，最后求出各方案的总费用进行对比即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：a的值为100，b的值为150．
（2）解：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，
理由如下：
设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8．
当时，，购买总费用为（万元）；
当时，，购买总费用为（万元）；
当时，，购买总费用为（万元）．
答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
25．【答案】(1)，
(2)
(3)
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（）将代入，求出的值，再将点代入即可求出的值；
（）求出点坐标，再根据图象解答即可求解；
（）连接，求出点坐标，再根据计算即可求解；
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴，
把代入，得，
∴；
（2）解：把代入，得，
∴，
∴，
由函数图象可得，当时，的取值范围为；
（3）解：连接，

∵，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．26．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．
【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，即可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；
（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；
【详解】（1）∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴△ADE是等边三角形，
在等边△ABC和等边△ADE中，
∵ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G，
∴∠G=∠BDF，
∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠G=30°，
由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA，
∵AD⊥BP，
∴∠BDA=90°，
∴∠CEA=90°，
∵∠AED=60°，
∴∠CED=30°=∠G，
∴CE=CG，
∴BD=CG，
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF=FC ，
即F为BC的中点．A型
B型
价格（万元/台）
年载客量（万人/年）
60
100