宁夏银川市第六中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份宁夏银川市第六中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列不等式一定成立的是（ ）
A．5a＞4aB．x+2＜x+3C．﹣a＞﹣2aD．
2．（3分）在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，∠B＝45°，∠E＝30°则∠BFD的度数是（ ）
A．10°B．15°C．25°D．30°
4．（3分）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和一条斜边分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．两个锐角分别对应相等
5．（3分）如图：△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DE⊥AB于E，且AB＝6cm（ ）
A．6cmB．4cm
C．10cmD．以上都不对
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
7．（3分）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形△OAB：S△OBC：S△OAC＝（ ）
A．1：1：1B．6：4：3C．2：3：4D．4：3：2
8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
9．（3分）如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形（3，0），则A点的坐标是（ ）
A．（，3）B．（，）C．（，）D．（，）
10．（3分）现规定一种新运算，a※b＝ab+a﹣b，其中a、b为常数，若（2※3）+（m※1），则不等式＜﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣B．x＜0C．x＞1D．x＜2
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）命题：“如果ab＝0，那么a＝0，b＝0”的逆命题是 ，它是一个 命题（填“真”或“假”）．
12．（3分）一次函数y＝﹣3x+12中x  时，y＜0．
13．（3分）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多20°，则该等腰三角形中最小的内角的度数是 ．
14．（3分）枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万元 ．
15．（3分）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．
16．（3分）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BD＝3cm，则AD＝ cm．
17．（3分）若方程组的解x，y满足x+y＞5 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，M是EF上的一个动点，BC＝4，则BM+DM的最小值为 ．
三、解答题（共66分）
19．（15分）解下列不等式：
（1）3x﹣1≤2（x﹣1）；
（2）；
（3）．
20．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，且AB＝CD，BE＝CF．求证：AF＝DE．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，AG，求线段BC的长．
22．（6分）为加强校园消防安全，学校计划购买A，B两种型号的灭火器共50个．其中A型灭火器的单价为540元/个，则最多可购买A型灭火器多少个？
23．（6分）图①图②图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC
（1）在图①中，△ABC是面积为4.5的锐角三角形．
（2）在图②中，△ABC是面积为5的直角三角形．
（3）在图③中，△ABC是面积为2.5的钝角三角形．
24．（7分）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务．
解：x+5﹣2≤3x+2⋯⋯第一步
x﹣3x≤2﹣5+2，⋯⋯第二步
﹣2x≤﹣1，⋯⋯第三步
x≤，⋯⋯第四步
（1）任务一：
①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ．
②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ．
（2）任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上．
25．（10分）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
26．（10分）【定义】到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
【举例】如图①所示，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心．
【应用】如图②所示，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且
【探究】已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，试探究PA的长．
2024-2025学年宁夏银川六中八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列不等式一定成立的是（ ）
A．5a＞4aB．x+2＜x+3C．﹣a＞﹣2aD．
【分析】根据不等式的性质分析判断．
【解答】解：A、因为5＞4，而a≤6时，即5a≤4a；
B、因为3＜3，不等号方向不变；
C、因为﹣1＞﹣3，而a≤0时，即﹣a≤﹣2a；
D、因为4＞2，而a＜0时，即，故错误．
故选：B．
2．（3分）在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【解答】解：∵不等式x≥﹣2中包含等于号，
∴必须用实心圆点，
∴可排除A、B，
∵不等式x≥﹣2中是大于等于，
∴折线应向右折，
∴可排除D．
故选：C．
3．（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．10°B．15°C．25°D．30°
【分析】根据直角三角形的性质可得∠BAC＝45°，根据邻补角互补可得∠EAF＝135°，然后再利用三角形的外角的性质可得∠AFD＝135°+30°＝165°．即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝135°，
∴∠AFD＝135°+30°＝165°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°
故选：B．
4．（3分）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和一条斜边分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．两个锐角分别对应相等
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、可以利用角角边判定两三角形全等；
B、可以利用边角边判定两三角形全等；
C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等；
D、两个锐角对应相等，符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图：△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DE⊥AB于E，且AB＝6cm（ ）
A．6cmB．4cm
C．10cmD．以上都不对
【分析】由∠C＝90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC＝DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC＝AE，又AC＝BC，可得BC＝AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB＝BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB＝AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．
【解答】解：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，
又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，又AC＝BC，
∴AC＝AE＝BC，又AB＝6cm，
∴△DEB的周长＝DB+BE+ED＝DB+CD+BE＝BC+BE＝AE+EB＝AB＝6cm．
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】由三角形内角和定理求得∠A＝70°；由垂直的定义得到∠AED＝∠AFD＝90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠B＝50°，
∴∠A＝70°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝110°．
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形△OAB：S△OBC：S△OAC＝（ ）
A．1：1：1B．6：4：3C．2：3：4D．4：3：2
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝20，BC＝30，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝2：3：2．
故选：C．
8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．
【解答】解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝ACAB，
∴∠A＝30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．
故选：C．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形（3，0），则A点的坐标是（ ）
A．（，3）B．（，）C．（，）D．（，）
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，由等边三角形的性质结合点B的坐标求出OA、OC的长度，再由勾股定理即可求出AC的长度，进而可得出点A的坐标．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，如图所示．
∵△AOB是等边三角形，B点的坐标是（3，
∴OA＝OB＝3，OC＝BC＝，
在Rt△ACO中，OA＝3，
∴AC＝＝＝，
∴点A的坐标为（，）．
故选：C．
10．（3分）现规定一种新运算，a※b＝ab+a﹣b，其中a、b为常数，若（2※3）+（m※1），则不等式＜﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣B．x＜0C．x＞1D．x＜2
【分析】先根据新定义得到2×3+2﹣3+m×1+m﹣1＝6，解得m＝1，则不等式化为＜﹣1，然后通过去分母、移项可得到不等式的解集．
【解答】解：∵（2※3）+（m※4）＝6，
∴2×6+2﹣3+m×7+m﹣1＝6，
∴m＝2，
∴＜﹣1，
去分母得3x﹣6＜﹣2，
移项得3x＜8，
系数化为1得x＜0．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）命题：“如果ab＝0，那么a＝0，b＝0”的逆命题是 如果a＝0，b＝0，那么ab＝0 ，它是一个 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，再根据实数的乘法法则判断真假．
【解答】解：“如果ab＝0，那么a＝0，b＝7，它是一个真命题，
故答案为：如果a＝0，b＝0；真．
12．（3分）一次函数y＝﹣3x+12中x ＞4  时，y＜0．
【分析】y＜0即3x+12＜0，解不等式即可求解．
【解答】解：根据题意得：﹣3x+12＜0，
解得：x＞7．
故答案为：＞4；
13．（3分）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多20°，则该等腰三角形中最小的内角的度数是 32°或20° ．
【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论即可得出结论．
【解答】解：设∠A＝x，∠B＝3x+20°，
①当∠A＝∠C为底角时，2x+（6x+20°）＝180°，则∠B＝180°﹣32°﹣32°＝116°，32°；
②当∠B＝∠C为底角时，2（3x+20°）+x＝180°，故三个角的度数分别为20°，80°；
③当∠A＝∠B时，x＝8x+20°；
该等腰三角形中最小的内角的度数是32°或20°．
故答案为：32°或20°．
14．（3分）枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万元 200（1+30%）x≥130000 ．
【分析】根据总销售额不低于13万元列出不等式即可．
【解答】解：根据题意得：200（1+30%）x≥130000；
故答案为：200（1+30%）x≥130000．
15．（3分）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 x≥1 ．
【分析】首先把P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，求出a的值，从而得到P点横坐标，再根据函数图象可得答案．
【解答】解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，
从图中直接看出，当x≥5时，
故答案为：x≥1．
16．（3分）如图：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BD＝3cm，则AD＝ 9 cm．
【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD＝AB﹣BD计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵BD＝3cm，
∴BC＝2BD＝2cm，AB＝2BC＝12cm，
∴AD＝AB﹣BD＝9cm．
故答案为：7．
17．（3分）若方程组的解x，y满足x+y＞5 m＞3 ．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围即可．
【解答】解：①+②得：x+y＝m+2，
∵x+y＞5，
∴m+8＞5，
解得：m＞3，
故答案为：m＞3．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，M是EF上的一个动点，BC＝4，则BM+DM的最小值为 6 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值为7，
故答案为：6．
三、解答题（共66分）
19．（15分）解下列不等式：
（1）3x﹣1≤2（x﹣1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先再移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可得到不等式的解集；
（2）先去分母，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出不等式的解集；
（3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出不等式的解集．
【解答】（1）解：3x﹣1≤4x﹣2，
移项得，3x﹣4x≤﹣2+1，
合并同类项得，x≤﹣3；
（2）解：＜x+8，
去分母得，x﹣1＜2x+6，
移项得，x﹣2x＜2+8，
合并同类项得，﹣x＜3，
系数化为1得，x＞﹣3；
（3）解：﹣≥8，
去分母得，3（x+3）﹣5（2x﹣1）≥4，
去括号得，3x+9﹣7x+2≥6，
合并同类项得，﹣x≥﹣5，
系数化为1得，x≤5．
20．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，且AB＝CD，BE＝CF．求证：AF＝DE．
【分析】由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△DCE，可得AF＝DE．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
∴AF＝DE．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，AG，求线段BC的长．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10，
∴线段BC的长为10．
22．（6分）为加强校园消防安全，学校计划购买A，B两种型号的灭火器共50个．其中A型灭火器的单价为540元/个，则最多可购买A型灭火器多少个？
【分析】设可购买A型灭火器m个，则购买B型灭火器（50﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过21000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：设可购买A型灭火器m个，则购买B型灭火器（50﹣m）个，
根据题意得：540m+380（50﹣m）≤21000，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为12．
答：最多可购买A型灭火器12个．
23．（6分）图①图②图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC
（1）在图①中，△ABC是面积为4.5的锐角三角形．
（2）在图②中，△ABC是面积为5的直角三角形．
（3）在图③中，△ABC是面积为2.5的钝角三角形．
【分析】（1）画底为3，高为3的锐角三角形即可．
（2）结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可．
（3）结合钝角三角形的定义画图即可．
【解答】解：（1）如图①，锐角三角形ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②，直角三角形ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图③，钝角三角形ABC即为所求（答案不唯一）．
24．（7分）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务．
解：x+5﹣2≤3x+2⋯⋯第一步
x﹣3x≤2﹣5+2，⋯⋯第二步
﹣2x≤﹣1，⋯⋯第三步
x≤，⋯⋯第四步
（1）任务一：
①以上解题过程中，第一步变形的依据是 不等式性质2 ．
②第 四 步出现错误，这一步出现错误的原因是 不等式两边除以﹣2时，不等号的方向没有改变 ．
（2）任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上．
【分析】任务一：①根据不等式的基本性质，即可解答；
②根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是进行去分母；
②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以﹣2时；
故答案为：①不等式的基本性质2；
②四；不等式两边除以﹣4时；
任务二：﹣3≤，
去分母得，x+5﹣2≤5x+2，
移项合并同类项得，﹣2x≤﹣2，
系数化为1得，x≥．
把解集表示在数轴上如图所示：
25．（10分）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
【分析】（1）根据题意列出算式即可；
（2）①若甲商场购买更优惠，可得不等式6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＜（1﹣20%）×6000x，解此不等式，即可求得答案；
②若乙商场购买更优惠，可得不等式6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＞（1﹣20%）×6000x，解此不等式，即可求得答案；
③若两家商场收费相同，可得方程6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＝（1﹣20%）×6000x，解此方程，即可求得答案；
（3）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣8）；
y2＝（1﹣20%）×6000x；
（2）设学校购买x台电脑，
则若两家商场收费相同，则：
6000+（6﹣25%）×6000（x﹣1）＝（1﹣20%）×6000x，
解得：x＝4，
即当购买5台时，两家商场的收费相同；
若到甲商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣7）＜（1﹣20%）×6000x，
解得：x＞5，
即当购买电脑台数大于6时，甲商场购买更优惠；
若到乙商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＞（2﹣20%）×6000x，
解得：x＜5，
即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；
（3）w＝50a+（10﹣a）60＝600﹣10a，
当a取最大时，费用最小，
∵甲商场只有3台，
∴a取4，W＝600﹣40＝560，
即从甲商场买4台，从乙商场买2台时，最少运费是560元．
26．（10分）【定义】到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
【举例】如图①所示，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心．
【应用】如图②所示，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且
【探究】已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，试探究PA的长．
【分析】【应用】：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB＝PC，②PA＝PC，③PA＝PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APD＝45°，然后即可求出∠APB的度数；
探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB＝PC，②PA＝PC，③PA＝PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：【应用】：①若PB＝PC，连接PB，
∵CD为等边三角形的高，
∴AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴∠PBD＝∠PBC＝30°，
∴，
与已知矛盾，
∴PB≠PC，
②若PA＝PC，连接PA，
③若PA＝PB，由，得PD＝BD，
∴∠APD＝45°，
故∠APB＝90°；
【探究】∵BC＝6，AB＝3，
∴，
①若PB＝PC，设PA＝x2+42＝（4﹣x）3，
∴，即，
②若PA＝PC，则PA＝2，
③若PA＝PB，由图知，不可能．
故PA＝3或．
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
C
C
C
C
B
商场
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乙商场
每台优惠20%