2022-2023学年宁夏银川六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年宁夏银川六中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年宁夏银川六中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 若x A. 4x>4y B. −x<−y C. x5>y5 D. x+6 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(    )
A. (3−x)(3+x)=9−x2
B. m4−n4=(m2+n2)(m+n)(m−n)
C. (x+y)2=x2+2xy+y2
D. 6a3b+3ab2+3ab=3ab(2a2+b)
4. 线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−1,3)的对应点C(2,5)，则点B(−3,1)的对应点D的坐标为(    )
A. (0,−1) B. (0,3) C. (−4,−1) D. (−4,0)
5. △ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C，用反证法证明时，第一步应先假设这个三角形中(    )
A. ∠B≠∠C B. ∠A=∠B C. AB=BC D. AB≠AC
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AD的长是(    )
A. 2 3
B. 2
C. 4 3
D. 4
7. 某品牌洗地机的进价为2000元，商店以2400元的价格出售.元旦期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于10%的价格降价出售，则该洗地机最多可降价多少元？若设洗地机可降价x元，则可列不等式为(    )
A. 2400−2000−x2000≥10% B. 2400−2000−x2000≤10%
C. 2400−2000−x2400≥10% D. 2400−2000−x2400≤10%
8. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在AC上移动，则BP的最小值是(    )


A. 2.4 B. 6 C. 4.8 D. 5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 因式分解：x3−4x=______．
10. 已知点P(a,2)与点Q(−3,b)关于原点对称，则a+b的值是______ ．
11. 如图，将△ACB绕点C按逆时针方向旋转50°后得到△ECD，点D恰好落在AB上，则∠CDB的度数是______ ．


12. 已知x2−kx+16是完全平方式，则k= ______ ．
13. 若关于x的一元一次不等式组x−2m<0x>2无解，则m的取值范围为______ ．
14. 如图所示，直线y=kx+b经过点(−2,0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集为______ ．


15. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=15cm2，AB=8cm，BC=12cm，则DE=        cm．


16. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为11，AB=5，则△ABC的周长为        ．


三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
解不等式5x+1<2(4+x)，并将解集表示在数轴上．
18. (本小题6.0分)
解不等式组2x−1≤−x+1①x−16 19. (本小题8.0分)
因式分解：
(1)15a2bc−3abc2；
(2)2x2−12xy+18y2．
20. (本小题6.0分)
先因式分解，再求值：已知a=2，求2(a−3)2+a(3−a)的值．
21. (本小题6.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2,1)，B(0,4)，C(0,1)．
(1)画出△ABC平移后得到的图形△A1B1C1使点A的对应点A1的坐标为(1,−1)．
(2)画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2．

22. (本小题6.0分)
银川六中医务室准备采购一批水银温度计和额温枪，其中水银温度计需要购买73支，额温枪若干支.已知水银温度计每支8元，额温枪每支60元，若要使采购的总费用不超过2000元，那么额温枪最多能购买多少支？
23. (本小题8.0分)
如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若AD平分∠BAC，BD=CD．
(1)求证：△BDE≌△CFD；
(2)请猜想AB+FC与AE之间的数量关系，并给予证明．

24. (本小题8.0分)
如图，函数y=−x−1和y=ax+4的图象相交于点P(m,−3)．
(1)求m，a的值；
(2)根据图象，直接写出不等式−x−1>ax+4的解集．
(3)求△ABP的面积．

25. (本小题10.0分)
在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村支书提出两种购买垃圾桶方案：方案1：买分类垃圾桶，需要费用300元，以后每月的垃圾处理费用25元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用100元，以后每月的垃圾处理费用50元.设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．
(1)直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案更省钱？
26. (本小题10.0分)
将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°).如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
(1)若△AMC是等腰三角形，则旋转角α的度数为______ ．
(2)在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线．
(3)在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】D 
【解析】解：A、由x B、∵x−y，故此选项错误；
C、∵x D、∵x 故选：D．
根据不等式的基本性质分别判断得出即可．
本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
不等式的基本性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】B 
【解析】解：A.(3−x)(3+x)=9−x2，是整式乘法，故选项不合题意；
B.m4−n4=(m2+n2)(m+n)(m−n)，是因式分解，故选项符合题意；
C.(x+y)2=x2+2xy+y2，是整式乘法，故选项不合题意；
D.6a3b+3ab2+3ab=3ab(2a2+b+1)，故选项不合题意．
故选：B．
把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．

4.【答案】B 
【解析】解：点A(−1,3)的对应点为C(2,2)，可知横坐标由−1变为2，向右移动了3个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，
于是B(−3,1)的对应点D的横坐标为−3+3=0，点D的纵坐标为1+2=1，
故D(0,3)．
故选：B．
根据点A(−1,3)的对应点为C(2,5)，可知横坐标由−1变为2，向右移动了3个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，以此规律可得D的对应点的坐标．
此题考查了坐标与图形的变化----平移，根据A(−2,3)变为C(2,5)的规律，将点的变化转化为坐标的变化是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C，
用反证法证明时，第一步应先假设这个三角形中∠B≠∠C，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

6.【答案】B 
【解析】解：∵DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，
∴AD=CD，
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ACB=60°，∠ACD=∠A=30°，
∵∠BCD=30°，
∴CD=2BD=2×1=2，
∴AD=2．
故选：B．
由DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，可得AD=CD，又由在Rt△ABC中，∠A=30°，BD=1，即可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

7.【答案】A 
【解析】解：根据题意得2400−2000−x2000≥10%．
故选：A．
利用利润率=销售利润进价，结合利润率不低于10%，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
又∵BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD= AC2−CD2=4，
又∵S△ABC=12BC⋅AD=12BP⋅AC，
∴BP=BC⋅ADAC=6×45=4.8．
故选：C．
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

9.【答案】x(x+2)(x−2) 
【解析】
【分析】
首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：x3−4x
=x(x2−4)
=x(x+2)(x−2)．
故答案为：x(x+2)(x−2)．  
10.【答案】1 
【解析】解：∵点P(a,2)与点Q(−3,b)关于原点对称，
∴a=3，b=−2，
∴a+b=1．
故答案为：1．
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．

11.【答案】65° 
【解析】解：由旋转的性质得：∠DCB=50°，CD=CB，
∴∠B=∠CDB，
∵∠DCB+∠B+∠CDB=180°，
即：50°+2∠CDB=180°，
∴∠CDB=65°．
故答案为：65°．
首先由旋转的性质可得出∠DCB=50°，CD=CB，据此可得到∠B=∠CDB，然后由三角形内角和定理即可求出∠CDB的度数．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质．

12.【答案】±8 
【解析】解：∵多项式x2−kx+16是完全平方式，
∴k=±4×2=±8，
故答案为：±8．
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

13.【答案】m≤1 
【解析】解：由x−2m<0得：x<2m，
又x>2且不等式组无解，
∴2m≤2，
解得m≤1，
故答案为：m≤1．
解第一个不等式，结合第二个不等式的解集及不等式组解集的情况，依据大小小大无解了的口诀可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

14.【答案】x>−2 
【解析】解：∵直线y=kx+b经过点(−2,0)，
∴当x>−2时，y>0，
∴关于x的不等式kx+b>0的解集为x>−2．
故答案为：x>−2．
结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

15.【答案】1.5 
【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵AB=8cm，BC=12cm，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DE+12BC⋅DF=12DE⋅(AB+BC)=15cm2，
∴DE=1.5cm．
故答案为：1.5．
首先过点D作DF⊥BC于点F，由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，然后由S△ABC=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DE+12BC⋅DF，求得答案．
此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

16.【答案】15 
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵△ADC的周长为11，
∴DA+CD+AC=11，
∴DB+CD+AC=11，即BC+AC=11，
∴△ABC的周长=BC+AC+AB=10+5=15．
故答案为：15．
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，利用等线段代换得到BC+AC=11，然后计算△ABC的周长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．

17.【答案】解：去括号，得：5x+1<8+2x，
移项，得：5x−2x<8−1，
合并同类项，得：3x<7，
系数化为1，得：x<73，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
． 
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

18.【答案】解：2x−1≤−x+1①x−16 解不等式①，得x≤23，
解不等式②，得x>−1，
所以不等式组的解集是−1 所以不等式组的整数解是0． 
【解析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

19.【答案】解：(1)15a2bc−3abc2=3abc(5a−c)；
(2)2x2−12xy+18y2．
=2(x2−6xy+9y2)
=2(x−3y)2． 
【解析】(1)根据提公因式法因式分解即可；
(2)先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

20.【答案】解：2(a−3)2+a(3−a)
=2(a−3)2−a(a−3)
=(a−3)(2a−6−a)
=(a−3)(a−6)，
当a=2时，
原式=(2−3)×(2−6)
=−1×(−4)
=4． 
【解析】根将已知式子因式分解后再将a=2代入计算即可．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据题意将已知式子因式分解．

21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
 
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

22.【答案】解：设购买额温枪x支，
根据题意得：8×73+60x≤2000，
解得：x≤1185，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为23．
答：额温枪最多能购买23支． 
【解析】设购买额温枪x支，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2000元，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若AD平分∠BAC，
∴∠E=∠C=90°，DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)；
(2)解：AB+FC=AE，理由如下：
由(1)知Rt△BED≌Rt△CFD，
∴BE=CF，
∴AE=AB+BE=AB+FC． 
【解析】(1)根据“HL”证明即可；
(2)由全等三角形的判定与性质可得BE=FC，由此答案．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

24.【答案】解：(1)把(m,−3)代入y=−x−1得，−m−1=−3，
解得m=2，
∴点P的坐标为(2,−3)，
∵函数y=ax+4的图象经过点P，
∴2a+4=−3
解得a=−72；
(2)由图象得，不等式−x−1>ax+4的解集为x>2；
(3)∵直线y=−72x+4交y轴于A，交x轴于M，

∴A(0,4)，M(87,0)，
∵直线y=−x−1交x轴于B，
∴B(−1,0)，
∴S△ABP=S△AMB+S△PMB=12×157×4+12×157×3=152． 
【解析】(1)首先把P(m,−3)代入y=−x−1，求得m的值，然后利用待定系数法求出a的值；
(2)以交点为分界，结合图象写出不等式−x−1>ax+4的解集即可；
(3)分别求得A，B坐标，即可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．

25.【答案】解：(1)由题意可知，y1=25x+300，y2=50x+100
(2)根据两点法可知，当x=0时，y1=300，y2=100，
当x=8时，y1=y2=500，函数y1，y2图象如下：

结合图象可知，当0y2，方案2更省钱；
当x=8时，y1=y2，两种方案一样；
当x>8时，y2>y1，此时方案1更省钱． 
【解析】(1)根据总费用=购买垃圾桶的费用+每月的垃圾处理费用×月份数，即可求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)根据一次函数性质，运用两点法画出函数y1，y2图象，并结合图象即可求解．
此题主要考查了利用一次函数的模型解决实际问题，解题关键是正确列出函数关系式，再结合图象进行分类讨论．

26.【答案】60°或15° 
【解析】(1)解：当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°，
当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°．

(2)证明：由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
∠B=∠FAB=AF∠BAM=∠FAN，
∴△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
∵∠E=∠C，∠MPE=∠NPC，
∴△MPE≌△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线．

(3)如图1所示：当∠CNP=90°时．

∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°−60°−90°=30°．
∴∠α=30°．
如图2所示：当∠CPN=90°时．

∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
(1)根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
(2)由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据折叠的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(3)当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．