河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若□2是不等式，则符号“□”可以是（ ）
A. B. C. D.
2. 等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. B. C. D.
3. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ）
A. 三角形三条角平分线的交点
B. 三角形的三边垂直平分线的交点
C. 三角形的三条高线的交点
D. 三角形的三条中线的交点
4. 如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A 若，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
6. 如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ）
A. 10米B. 12米C. 16米D. 20米
8. 【新考向】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，，应分别为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 如图，中，，且A，B，D在同一条直线上，动点P在线段上，连接，则最小值为（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 12
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若等边的周长为，则_______．
12. 比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______．
13. 如图，将长方形沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则_______．
14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P在x轴上运动，当以点A，P，O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为_______．
15. 如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，若的周长为10，则的长为_______，的面积为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 已知：， 试比较和的大小，并说明理由．
将下面的解题过程补充完整．
解：_______，
理由如下：
，
_______（不等式的基本性质2）．
_______（不等式的基本性质1）．
17. 如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
18. 【新情境】
图1是一个平分角的仪器，其中，．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由；
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积．
19. 如图，四边形ABCD是某小区的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，求在该空地上种植草皮共需多少元？（结果保留整数）
20. 如图，在 中，是边上高．
（1）尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：作 的平分线与交于点 E，过点 E作于H；
（2）判断 的形状，并说明理由．
21. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的长．
22. 在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形．
23. 如图，在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当时，_______；
（2）当时，的形状是_______三角形；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使．
2024-2025学年第二学期教学质量检测一八年级数学北师大版
（考试时间：100分钟，满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若□2是不等式，则符号“□”可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
用符号“”、“”或“”、“ ”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如； 像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．
根据不等式的定义即可求解．
【详解】解：根据不等式定义可知，
若□2是不等式，则符号“□”可以是；
故选：D．
2. 等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
由等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解： ∵等腰三角形的一个底角为，
∴这个等腰三角形的顶角为，
故选：D．
3. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ）
A. 三角形的三条角平分线的交点
B. 三角形的三边垂直平分线的交点
C. 三角形三条高线的交点
D. 三角形的三条中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等是解决问题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解．
【详解】解：

∵在的垂直平分线上，
∴，
∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即是到三角形三个顶点的距离相等的点，
故选：B．
4. 如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质可得，再根据等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质求解即可．
【详解】解：如图：
∵，
；
∵是等边三角形，
，
．
故选：A．
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
6. 如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
根据勾股定理可得：，， ，
∴，，
∴
∴
∵
∴，
故选：B．
7. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ）
A. 10米B. 12米C. 16米D. 20米
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．
【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
∴米，米，
∴米，
∴雕刻在石柱上巨龙至少为米，
故选：D．
8. 【新考向】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，，应分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
根据全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．
【详解】解：证明：连接，如图所示，
，
在和中，，
，
，
，
．
故选：B．
9. 如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解．
【详解】解：连接、，如图所示，
，
是的平分线，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，中，，且A，B，D在同一条直线上，动点P在线段上，连接，则的最小值为（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称——最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
有最小值为的长．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若等边的周长为，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等是解题的关键．
设的长为，即可得一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：设的长为，
是等边三角形，
，
解得，，
即，
故答案为：．
12. 比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据不等式的性质分析出即可解答．
【详解】解：∵，且，
∴
∴
故答案为：．
13. 如图，将长方形沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，掌握长方形及折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据长方形的性质可得：，由折叠可得对应角相等，即，，由直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：，，
，
由折叠的性质知，，，
在，，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P在x轴上运动，当以点A，P，O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形、垂直平分线的性质等知识点，正确的分类并画出图形是解题的关键．分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P；再作的垂直平分线与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可解答．
【详解】解：如图：
分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P,
当时，可得满足条件，
当时，可得满足条件，
如图：作的垂直平分线，与x轴的交点也是满足条件的点P，当时，可得满足条件，
综上，满足题意的点P有4个．
故答案为：4．
15. 如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，若的周长为10，则的长为_______，的面积为_______．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，及勾股定理，三角形面积计算，熟知相关知识点是正确解答此题的关键．
由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案．
【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
，
∴，
作于点，
，
，
中，，，
故答案为：6，．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 已知：， 试比较和的大小，并说明理由．
将下面的解题过程补充完整．
解：_______，
理由如下：
，
_______（不等式的基本性质2）．
_______（不等式的基本性质1）．
【答案】＜；；
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
利用不等式的基本性质进行分析解答即可．
【详解】解：，理由如下：
，
（不等式的基本性质2）．
（不等式的基本性质1）．
17. 如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别点D，E，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理．
（1）由，，可得，再由 “”即可证明；
（2）由可知，，进而求得，，即可得解．
【小问1详解】
解：证明：，，
，
在和中
；
【小问2详解】
解：，
，，
，
即，
，
．
18. 【新情境】
图1是一个平分角的仪器，其中，．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由；
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积．
【答案】（1）是的平分线，见解析
（2）12
【解析】
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键；
（1）利用证明来得到即可．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可．
【小问1详解】
解：是的平分线，
理由如下：
在和中，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：过点作于点，
平分，
，
，
．
19. 如图，四边形ABCD是某小区的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，求在该空地上种植草皮共需多少元？（结果保留整数）
【答案】在该空地上种植草皮共需要12660元
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理的运用，度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用度所对的直角边是斜边的一半，得出，结合勾股定理得，再运用勾股逆定理证明，运用面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：
，
在中， ，
，
，
，
种植草皮所需金额为：（元）．
荅：在该空地上种植草皮共需要12660元．
20. 如图，在 中，是边上的高．
（1）尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：作 的平分线与交于点 E，过点 E作于H；
（2）判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）直接运用角平分线和垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）先说明是等腰直角三角形，再证明可得然后证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换得到即可解答．
【小问1详解】
解：如图：射线，线段即为所求；
【小问2详解】
解：为等腰三角形，理由如下：
∵，是边上的高，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴为等腰三角形．
21. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
小问1详解】
解：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：的周长为，，
，
，
，，
，
，
，
．
22. 在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明；
（2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明．
【小问1详解】
证明：平分，
，
在和中，，
；
【小问2详解】
如图，在上截取，连接，
，
在和中，
，
，
是等边三角形，
，
，
为等边三角形．
23. 如图，在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当时，_______；
（2）当时，的形状是_______三角形；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使．
【答案】（1）
（2）等腰 （3）当或时，
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先求出，则，然后根据勾股定理求解即可；
（2）先求出，再说明是的垂直平分线，则即可解答；
（3）先说明，再根据勾股定理可得，然后分点在上和在的延长线上两种情况，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：当时，，则，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：当时，，
∴，即点C是的中点，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰．
【小问3详解】
解：，
，
根据勾股定理，得，
当点在上时，
，
，
，
设，
，
∴在中，，
∴，解得：，
，
∴，解得：．
如图：当点在的延长线上，
，，
∴，
．
设，
，
在中，，
∴，解得：，
，
∴，解得．
综上，当或时，．如图，于点E，于点F．求证：．
证明：连接，如图，
在和中，，
（_____），_______，
，
．
如图，于点E，于点F．求证：．
证明：连接，如图，
在和中，，
（_____），_______，
，
．