广西壮族自治区桂林市第一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区桂林市第一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（ ）．
A. 13B. C. 7或17D. 13或
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用勾股定理即可得出斜边的长．
【详解】解：由题意得：斜边长=＝13，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是牢记勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．
2. 在平面直角坐标系中，点到原点O的距离是（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离；根据两点间的距离公式计算即可．
【详解】解：点到原点O的距离为，
故选：B．
3. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ）
A. B. C. 7D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意利用勾股定理得出的值，即可得点C表示的数．
【详解】解：由在数轴上点A表示的数为5，，，以原点O为圆心，以长为半径作弧，
得，
得点C表示的数为,
故选：B．
4. 以下列各数为边长，能构造成直角三角形是（ ）
A. 0.1，0.2，0.3B. ，，2C. 6，7，8D. 9，40，41
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，逐项算出各个边长的平方，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：A. ，不能构成直角三角形；
B. ，不能构成直角三角形；
C. ，不能构成直角三角形；
D. ，能构成直角三角形；
故选：D．
5. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A. 0.9B. 1.3C. 1.5D. 1.6
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，进而得到米，即可得出答案．
详解】解：过点D作于E，如图所示：
则，米，
在中，
AD=1.5米，
由勾股定理得
（米），
∴（米），
∴米．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6. 在中，，，所对的边分别是a，b，c，且，则下列等式正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了含直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握直角三角形的性质是关键．
设，，，根据三角形内角和定理可得是直角三角形，且c是斜边，从而得到，，即可求解．
【详解】解：设，，，
∴，
解得：，
∴，，，
∴是直角三角形，且c是斜边，
∴，，
故选项B，C，D错误，选项A正确．
故选：A．
7. 下列命题的逆命题是真命题的是( )．
A. 若a＝b，则|a|＝|b|B. 全等三角形的周长相等
C. 若a＝0，则ab＝0D. 有两边相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据有理数的性质、绝对值的意义和全等三角形的判定进行判断．
【详解】A．若a=b，则|a|=|b|的逆命题为若|a|=|b|，则a=b，此逆命题为假命题，所以A选项错误；
B．全等三角形的周长相等的逆命题为周长相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C．若a=0，则ab=0的逆命题为若ab=0，则a=0，此逆命题为假命题，所以C选项错误；
D．有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形是有两边相等的三角形，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
8. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】解：，，；
根据勾股定理，得：；
∴；
∴橡皮筋被拉长了2.
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算是解题的关键．
9. 如图，在中，平分交于点E，平分，，交于点M．若，则（ ）
A. 75B. 100C. 120D. 125
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质，先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，得到，同理可得，则，据此利用勾股定理即可得到答案．
【详解】解：∵平分交于点E，平分，
∴，，
∵，
∴，即；
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
故选：B．
10. 如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
证明直角三角形，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，
，
∴直角三角形，
∴点符合题意，
故选：D．
11. 把矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】设，则．根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设，则．
根据折叠的性质，得．
∵，
∴，
∴，
∴．
在直角三角形中，根据勾股定理，得
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要是运用了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理．熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A. 4B. 4πC. 8πD. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝
＝
＝4，
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标及勾股定理．根据题意，由，，求出，然后求，再用勾股定理求即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
14. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后测得桌面的长为，宽为，对角线为，则这个桌面______．（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题干的长为，宽为，对角线为，分别算出，因为，所以桌面的角是直角，即可作答．
【详解】解：∵长，宽为，对角线为，
∴，
则，
∴桌面的角是直角，
∴这个桌面是合格的，
故答案为：合格．
15. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
先由勾股定理求出，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解．
【详解】解：连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______cm．
【答案】10
【解析】
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′D=12=6，BD=BE+DE=5+3=8，
在直角△A′DB中，由勾股定理得，
A′B=．
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
17. 如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动了_____________m．
【答案】2.5
【解析】
【详解】如图所示：
已知AE=1.3米，AC=0.7米，BD=0.9米，
设CD=x，AB=DE=y，则BC=0.9+x
则在直角△ABC中，y2=（0.9+x）2+0.72，
在直角△CDE中，y2=x2+（1.3+0.7）2，
解方程组得：x=1.5米，y=2.5米，
故答案是： 2.5．
18. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．
【详解】解：第一个正方形的面积是64；
设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得：
∴
解得：
∴第二个正方形的面积是；
同理：第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
当时，正方形的面积为
∴正方形⑤的面积是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
19. 在中，，，，．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，且，求，的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握利用勾股定理求边长是解题的关键；
（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）设，，根据勾股定理列方程并求解即可；
【小问1详解】
在中，
，
的值是．
【小问2详解】
设，，由勾股定理，得，
解得，
，；
20. 已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断出，再利用勾股定理和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵等腰底边，，，
∴，，
∴是直角三角形，且，
在中，，，
由勾股定理得，
解得．
21. 如图，张大叔修建了一个蔬菜大棚，大棚的横截面是直角三角形，已知棚宽米，棚高米，棚长米，现要在长方形棚顶（即图中阴影部分）覆盖塑料布．
（1）求长方形棚顶的面积；
（2）如果塑料布的价格为3元/平方米，那么张大叔购买塑料布需要花费多少元？
【答案】（1）390平方米
（2）1170元
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出长方形棚顶的斜宽是解题关键．
（1）在侧面的直角三角形中，由勾股定理可得直角三角形的斜边长．棚顶是以侧面的斜边为宽，棚的长为长的长方形，依据长方形的面积公式即可求解．
（2）根据单价面积花费即可得解．
【小问1详解】
解：由勾股定理，得棚顶的斜宽为米，
平方米，
答：长方形棚顶的面积为390平方米．
【小问2详解】
解：元，
答：张大叔购买塑料布需要花费1170元．
22. 图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案：
根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出、的长是解题的关键．
在中，由勾股定理求出的长，再在中，由勾股定理得求出的长，即可得出答案．
【详解】解：在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得．
，
答：学校篮板的长度为．
23. 如图，在中，D是的中点，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论；
（2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可．
【小问1详解】
解：连接，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵D是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴设，则，
在中
∴，
解得：
∴．
24. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）当时，写出这一组勾股数______．
（2）证明“罗士琳法则”的正确性．
【答案】（1）14，48，50；
（2）见解析．
【解析】
【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．
（1）根据题意直接求解即可；
（2）根据勾股定理计算证明即可．
【小问1详解】
解：当时，
根据题意得：，
∴这一组勾股数为14，48，50；
故答案为：14，48，50．
【小问2详解】
证明：∵
．
，
∴当k大于2时，，
∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数．
25. 如图，在中，，，，P，Q分别是边，上的两个动点，点P从点A出发，沿方向运动，且速度为，同时点Q从点B出发，沿方向运动，且速度为．设运动的时间为．
（1）连接，当时，求的长；
（2）若点Q从点B出发，沿折线运动，速度不变，则当t为何值时，点Q在边上，且是等腰三角形？
【答案】（1）
（2）或6或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的定义，能够正确分类讨论三种情况是解题的关键．
（1）根据题意可得出，，再根据线段的和差可得出，然后根据勾股定理即可得出答案；
（2）分三种情况讨论，利用勾股定理即可得出答案．
【小问1详解】
当时，，．
．
在中，，由勾股定理，得．
【小问2详解】
分以下三种情况：
①如图2，当，即时，
．
．
．
．
，
．
．
．
．
②如图3，当时，．
．
③如图4，当时，过点B作于点E．
，
．
．
，，
．
．
．
综上所述，当t的值为或6或时，点Q在边上，且是等腰三角形．课题
测量篮板的长度
成员
组长：××× 组员：××××××
工具
竹竿、皮尺、计算器等
测量示意图
如图，垂直地面于点C，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处
测量数据
竹竿的长度
的长度
的长度