2025年山西省运城市夏县中考数学一模试卷 （原卷版+解析版）

这是一份2025年山西省运城市夏县中考数学一模试卷 （原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 7C. D.
2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 截至年第三季度，我国海上风电累计建成并网万千瓦，稳居全球第一位，形成了从开发设计、生产制造到施工建设、运维管理等较为完整的海上风电技术链、产业链．将数据万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 山西汾酒是中国清香型白酒典型代表，工艺精湛，源远流长，素以入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长等特色而著称．如图，这是常用装汾酒的酒坛，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
7. 大年吃饺子是取“更岁饺子”之意，象征喜庆团圆和吉祥如意，此外，饺子因为形似元宝，过年时吃饺子，也带有“招财进宝”的吉祥含义．小美的妈妈煮了牛肉馅铰子和羊肉馅饺子共个，其中牛肉馅有个，小美随机吃一个，吃到羊肉馅饺子的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，的长为5，将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，对角线和相交于点，为线段的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，，若，则线段和一定满足的关系是（ ）
A. 互相垂直且相等B. 互相平分且相等
C 互相垂直平分D. 互相垂直平分且相等
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：_____．
12. 扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为______．
13. 如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，F为竖直向下的拉力．若，则的度数是______
14. 山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两干多年的历史东汉称面条为“煮饼”．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度单位：是面条横截面面积单位：的反比例函数，当面条横截面面积为时，面条的总长度为，则当面条的总长度为时，面条横截面面积为______．
15. 如图，在中，，是边上一点，，并交于点，若，，则的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：
（2）解不等式组：6x-6≤03+x>-2①②
17. 晋阳高速公路改扩建项目是年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？
18. 2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为了增强学生的安全意识，提高学生的自我保护能力，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．九年级（1）班和九年级（2）班各选出5位选手参赛，他们成绩满分为100分的条形统计图如图所示．
数据整理分析如下：
（1）表中______，______，______．
（2）结合统计学知识，你认为选哪个班代表九年级参加学校的决赛比较好？并说明理由．
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
20. 山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图是位于山西大同的应县木塔．如图，小方站在点处操纵无人机到与水平距离为米的处，无人机在处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为米，点，，，在同一平面上，求应县木塔的高度．参考数据，，，
21. 阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
（2）如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．
（3）如图，内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求．
22. 综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
（1）求抛物线解析式．
（2）如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
（3）如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
23. 综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在中，E为其内一点，连接，，，试猜想和的数量关系，并加以证明．
数学思考：
（1）请解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）如图2，聪明小组在此基础上提出：连接，过点E作，垂足为G，交于点F，若，，求▱ABCD的面积．
（3）创新小组突发奇想：如图3，连接，将绕着点E旋转到的位置，连接CH，若，，请直接写出的值．
2025年山西省运城市夏县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 绝对值是（ ）
A. B. 7C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值．掌握0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数是解题关键．根据0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数解答即可．
【详解】解：由题意得，
故选：B．
2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是轴对称图形，解题关键是熟练掌握轴对称图形的定义．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据此定义判断即可．
【详解】解：、、中的化学仪器的示意图不是轴对称图形，故、、不符合题意；
化学仪器的示意图是轴对称图形，故符合题意．
故选：．
3. 截至年第三季度，我国海上风电累计建成并网万千瓦，稳居全球第一位，形成了从开发设计、生产制造到施工建设、运维管理等较为完整的海上风电技术链、产业链．将数据万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是科学记数法的表示方法，解题关键是熟练掌握科学记数法．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据该表示方法即可得解．
【详解】解：根据科学记数法可得：万．
故选：．
4. 山西汾酒是中国清香型白酒的典型代表，工艺精湛，源远流长，素以入口绵、落口甜、饮后余香、回味悠长等特色而著称．如图，这是常用装汾酒的酒坛，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解题关键是正确把握观察的角度．
根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，解题关键是熟练掌握运算法则．
根据同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：选项，与不是同类项，不能进行合并，该项不正确，不符合题意；
选项，，该项不正确，不符合题意；
选项，，该项不正确，不符合题意；
选项，，该项正确，符合题意．
故选：．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实根，
∴，
∴且，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和判别式，熟知一元二次方程有两个不相等的实数根时，是解题的关键．
7. 大年吃饺子是取“更岁饺子”之意，象征喜庆团圆和吉祥如意，此外，饺子因为形似元宝，过年时吃饺子，也带有“招财进宝”的吉祥含义．小美的妈妈煮了牛肉馅铰子和羊肉馅饺子共个，其中牛肉馅有个，小美随机吃一个，吃到羊肉馅饺子的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是概率公式，解题关键是熟练掌握概率公式．
根据概率求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：任意挑选一个饺子共有种等可能结果，其中吃到羊肉馅饺子的结果有种，
所以小美随机吃一个，吃到羊肉馅饺子的概率为．
故选：．
8. 如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质．
先根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形的性质得，由此即可得出答案．
【详解】解：连接，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
又，
．
故选：．
9. 如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，的长为5，将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，一次函数图象上点坐标的特征．求出，由，可得，，根据将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，知，，，即可得．
【详解】解：在中，令得，
，
，
，
，
，
将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，
，，，
；
故选：A．
10. 在中，对角线和相交于点，为线段的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，，若，则线段和一定满足的关系是（ ）
A. 互相垂直且相等B. 互相平分且相等
C. 互相垂直平分D. 互相垂直平分且相等
【答案】C
【解析】
【分析】由为的中点，得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到后可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，再根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，
为的中点，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是菱形，
和互相垂直平分．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定和性质．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解运用公式法，用平方差公式因式分解即可．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
点的坐标为 ．
故答案为：．
13. 如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，F为竖直向下的拉力．若，则的度数是______
【答案】73
【解析】
【分析】根据平行线的性质即可求出答案．
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示标注字母，
根据题意得，

，
，
，
故答案为：
14. 山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两干多年的历史东汉称面条为“煮饼”．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度单位：是面条横截面面积单位：的反比例函数，当面条横截面面积为时，面条的总长度为，则当面条的总长度为时，面条横截面面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系并用待定系数法求出它们的关系式．
利用待定系数法得出反比例函数解析式，将代入反比例函数的关系式，即可得到面条横截面面积．
【详解】解：，，
设与之间的函数表达式为：，
将，代入可得：，
，
与之间的函数表达式为：，
当时，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
即当面条的总长度为时，面条横截面面积为．
故答案为：．
15. 如图，在中，，是边上一点，，并交于点，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】易得，那么，作于点，分别计算出，的长度，根据勾股定理可得的长度，即可求得的长度．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是得到所求线段所在的三角形相似．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了常见的几种基本运算及一元一次不等式求解方法，在计算过程中，要准确运用绝对值、负指数幂、乘方的运算法则，熟练掌握以上运算法则是题解的关键．
先分别根据对应运算法则化简各项，再按照先乘除后加减的顺序计算；
分别求解不等式组中的两个不等式，再取他们解集的公共部分得到不等式组的解集．
【详解】解：原式；
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为．
17. 晋阳高速公路改扩建项目是年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？
【答案】甲工程队每个月修建千米．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米，根据乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修建千米，则乙工程队每个月修建千米，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：甲工程队每个月修建千米．
18. 2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为了增强学生的安全意识，提高学生的自我保护能力，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．九年级（1）班和九年级（2）班各选出5位选手参赛，他们成绩满分为100分的条形统计图如图所示．
数据整理分析如下：
（1）表中______，______，______．
（2）结合统计学知识，你认为选哪个班代表九年级参加学校的决赛比较好？并说明理由．
【答案】（1）88，85，85；
（2）九（2）班参加学校的决赛比较好．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、平均数以及众数的定义逐一分析计算即可；
（2）根据中位数、平均数、众数以及方差的意义分析判断即可．
本题考查条形统计图，平均数，中位数，众数，方差，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键．
【小问1详解】
解：九班5位选手的成绩由小到大排序为75，82，88，90，90，
中位数，
九班5位选手的成绩为78，82，85，85，95，
平均数，众数
故答案为：88，85，85；
【小问2详解】
九班参加学校的决赛比较好．
理由：九班和九班的平均数相等，而九班的方差比九班的方差小，成绩更稳定．
所以选九班参加学校的决赛比较好．答案不唯一
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）图见解析；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）由图可知，可得，由等腰三角形的性质可得，进而可得，则，即．
【小问1详解】
解：如图，即为所求：
【小问2详解】
证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查知识点是作图-基本作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图是位于山西大同的应县木塔．如图，小方站在点处操纵无人机到与水平距离为米的处，无人机在处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为米，点，，，在同一平面上，求应县木塔的高度．参考数据，，，
【答案】应县木塔的高度均为米．
【解析】
【分析】过点作于点，的延长线于点，根据题意得，，，利用，即可求出、，则．
【详解】解：如图，过点作于点，的延长线于点，
根据题意得，，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
米，
，，
，，
米，
米．
答：应县木塔的高度均为米．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题关键是根据题意正确作出辅助线求解．
21. 阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
（2）如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．
（3）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求．
【答案】（1）；
（2）三角形纸片的周长是；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意得出，则可得出答案；
（2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案；
（3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案．
【小问1详解】
解：是的内切圆，切点为，，，
，，，
设，，，则有，
三式相加可得，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：的周长为，
由题意得，
如图，设切点分别为，，，则，
，，
，
三角形纸片的周长，
；，
【小问3详解】
解：设，依题意得，，
，，
，
根据勾股定理可得，整理得，
解得或不合题意，合去，
，
，，
．
【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理．
22. 综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
（3）如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）点P的坐标为；
（3）存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
将点和代入解方程组得到结论；
由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；
如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
【小问3详解】
存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
23. 综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在中，E为其内一点，连接，，，试猜想和的数量关系，并加以证明．
数学思考：
（1）请解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）如图2，聪明小组在此基础上提出：连接，过点E作，垂足为G，交于点F，若，，求▱ABCD的面积．
（3）创新小组突发奇想：如图3，连接，将绕着点E旋转到的位置，连接CH，若，，请直接写出的值．
【答案】（1），见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，求得，得到；
根据平行四边形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，于是得到的面积
由旋转的性质得，． ，如图，过点E作于点P，得到，根据直角三角形的性质得到，，得到根据勾股定理可得，根据平行线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，
证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
；
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
≌，
，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
解得负值已舍去，
，
▱ABCD的面积
；
由旋转的性质得，，，
如图，过点E作于点P，
，
，，
在中，根据勾股定理可得，
∵，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
班级
平均数
中位数
众数
方差
九班
85
a
90
九班
b
85
c
关于“三角形的内切圆”的研究报告
【研究内容】如图，在中，三边，，，是它内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？
【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有．
班级
平均数
中位数
众数
方差
九班
85
a
90
九班
b
85
c
关于“三角形的内切圆”的研究报告
【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？
【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有．