2024-2025学年福建省龙岩市长汀一中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省龙岩市长汀一中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知点B(−2,1,1)关于z轴的对称点为A，则|AB|等于( )
A. 3 2B. 2 6C. 2 5D. 2
2.已知a=(−2,1,3),b=(−1,1,1)，若a⊥(a−λb)，则实数λ的值为( )
A. −2B. −143C. 73D. 2
3.2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈者了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为( )
A. 14B. 34C. 110D. 310
4.已知A(1,1,0)，B(0,3,0)，C(2,2,2)，则向量AB在AC上的投影向量的坐标是( )
A. (16,16,−13)B. (−16,−16,13)C. (−16,−16,−13)D. (16,16,13)
5.已知函数f(x)=x2−xf′(1)，则曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为( )
A. 5x−y−9=0B. 5x+y−9=0C. 4x+y−8=0D. 4x−y−8=0
6.函数f(x)=ex(2x−1)x−1的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.若函数f(x)=x2+alnx−x+1(a∈R)在[12,+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. [18,+∞)D. (18,+∞)
8.长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，点P在长方体的侧面BCC1B1上运动，AP⊥BD1，则二面角P−AD−B的平面角正切值的取值范围是( )
A. [0,14]B. [0,12]C. [14,12]D. [12,1]
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知事件A，B满足P(A)=0.5，P(B)=0.2，则( )
A. 若B⊆A，则P(AB)=0.5B. 若A与B互斥，则P(A+B)=0.7
C. 若P(AB)=0.1，则A与B相互独立D. 若A与B相互独立，则P(AB−)=0.9
10.下列说法中正确的是( )
A. 已知AB=(4,−2,6)，AC=(−2,8,−4)，AD=(3,−5,λ)，若A，B，C，D四点共面，则实数λ为5
B. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于60°
C. 已知点A(1,2,1)，B(3,3,2)，C(λ+1,4,3)，若AB，AC的夹角为锐角，则λ的取值范围为(−2,4)∪(4,+∞)
D. 已知直线l的一个方向向量是n=(4,−2,3)，平面α的一个法向量是m=(1,2,0)，则l//α
11.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AD=4，∠BAD=π3，面PAD⊥面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且∠APD=π2，AC与BD交于点O，E为PC的中点，F在直线PA上，若PFPA=λ，则下列说法正确的有( )
A. 异面直线PO与AD所成角的余弦值为 24
B. 当λ=13时，平面OEF⊥平面DEF
C. 点D到平面OEF的距离为4 55
D. 存在λ，使得DF⊥PB
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.平面α内三点坐标分别为A(1,0,−1)，B(−1,1,−1)，C(−1,0,0)，则平面α的一个法向量为______．
13.某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占70%，30%，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为0.8，0.6，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______．
14.设k∈R，函数fx=kx2−x+1,x0时，令aeax−1=0，得eax=1a，x=ln1aa=−lnaa，
所以f′(−lnaa)=0，且f′(x)=aeax−1为增函数，
当x0，
所以f(x)在(−∞,−lnaa)上单调递减，在(−lnaa,+∞)上单调递增；
综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,+∞)，无递增区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,−lnaa)，单调递增区间为(−lnaa,+∞)．
(3)当a=1时，函数g(x)=ex[f(x)−x+1]+m=ex(ex−2x)+m是“A函数”，
求导得g′(x)=2ex(ex−x−1)，
设曲线y=g(x)+kx+b与直线y=kx+b切点(x0,y0)，
则y0=g(x0)+kx0+b=kx0+bg′(x0)+k=k，故g(x0)=0g′(x0)=0，即ex0(ex0−2x0)+m=02ex0(ex0−x0−1)=0，
所以ex0=x0+1且m=−ex0(ex0−2x0)，
设ℎ(x)=ex−x−1，ℎ′(x)=ex−1，易知ℎ′(0)=0，且ℎ′(x)=ex−1是增函数，
当x∈(0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)