福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考(2月) 数学试卷（含解析）

这是一份福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考(2月) 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ）
A. 33B. 31C. 39D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】对运动方程求导,得到导函数,利用导数的物理意义,导函数中代入时间数据,得到物体的瞬时速度.
【详解】物体的运动方程是,则.
当时,代入函数得到，答案为A
【点睛】本题考查了导数的物理意义和导数的计算，属于简单题．
2. 经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.
【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，
直线的方程为，即.
故选：A.
3. 若直线和直线互相垂直，则
A. 或B. 3或1C. 或1D. 或3
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】因为直线和直线互相垂直，
所以，
解方程可得或，故选C.
【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
4. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由题意得方程，得或，且
，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．
考点：曲线与方程．
5. 若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则( )
A. 29B. 33C. 31D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差中项的性质以及等比数列前公式即可计算出
【详解】设等比数列的等比为，
由，为与的等差中项得，
所以，，
故.
故选：D.
6. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A. 36种B. 24种C. 18种D. 12种
【答案】C
【解析】
【分析】分教师甲与2名学生去北京与教师甲与另一名教师及2名学生去北京两种情况分类讨论可求分配方案的方法数.
【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）；
当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种），
综上，分配方案共有（种）.
故选：C
7. 已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过直线l过定点A，得到P在以AF为直径的圆上，将Q到P的距离转化为到圆心的距离，再结合抛物线的定义即可求出的最小值.
【详解】因为直线，即，过定点，记作点A，
因为，垂足为，所以，又，
故点P的轨迹为以为直径的圆，半径，圆心为，记作点B，
又因为Q在抛物线上，其准线为，
所以等于Q到准线的距离，
过点Q做准线垂线，垂足为R，要使取到最小，即最小，
此时，三点共线，且三点连线后直线过圆心B，如图所示，
此时.
8. 已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值.
【详解】设椭圆的方程为，直线的方程为，
，
联立整理得：
，
由椭圆的离心率，得，
带入上式并整理得：
，
则，
由与的面积之比为，则，
则，
所以的面积为
，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为
故选：.
二、多选题：本题共3题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知，则（ ）
A. 展开式中所有项的二项式系数和为
B. 展开式中所有奇次项系数和为
C. 展开式中所有偶次项系数和为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二项式定理的计算方法与性质即可计算出结果
【详解】对于A，二项式系数之和为，故A正确；
对于B，令，得，①
令，得，②
①+②，可得，∴，故B正确；
对于C，①-②，得，∴，故C错误；
对于D，令，得，令，得．
∴，故D正确．
故选：ABD
10. 设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线与圆相切时
B. 到距离的最大值是
C. 直线与圆相交的最短弦长为
D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据时直线也与圆相切，可判断A选项；根据几何知识得到当时到的距离最大，然后求最大值，可判断B选项；根据几何知识得到当时所得弦长最短，然后得到此时的直线的方程，最后求弦长，可判断C选项；根据几何知识得到点的轨迹，然后利用三角函数或不等式的方法求最值，可判断D选项.
【详解】显然当时直线也与圆相切，故错误；
直线过的定点为，当时到的距离最大，最大值为，此时到距离的最大值为，故B正确；
由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故正确；
由，当时，，有，当时，，则，所以，又点是两直线的交点，所以，所以，
法一：设，则，因为，所以，所以，故D错误.
法二：因为，
所以，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：BC.
11. 已知是数列的前项和，，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，为等差数列
D. 当数列单调递增时，的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由，多写一项，两式相减得到，注意检验时是否成立即可；
对于B，先根据题意求得，从而得到奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前项和公式即可求解；
对于C，结合B选项求得，，得到数列为，进而判断即可；
对于D，先结合选项C求得，，再根据数列单调递增，则必有，且，求解即可得出的取值范围．
【详解】对于A，因为，当，，
两式相减得，
但当时，，即，得，不符合，故A错误；
对于B，结合A选项有，所以，
两式相减得，
又，
令，则，，得，又，所以，
令，则，，得，所以，
则，所以，
所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，
则
，所以B正确；
对于C，结合B选项有，，，
又，
则，
，
即数列的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列为，
所以数列不等差数列，故C错误；
对于D，结合选项C有，，
又数列单调递增，则必有，且，
所以，且，解得，
所以的取值范围是，所以D正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义有，即可求参数a的值.
【详解】因为，根据题意有，解得.
故答案为：
13. 设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程确定，，的值，结合已知条件及椭圆定义求出，在中，求出，由诱导公式求出，设，则，在中由余弦定理构造方程，解出值即可.
【详解】
设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知，
，，；由已知有：，点在椭圆上，
根据椭圆定义有：，所以，，
在中，，，
，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，
设，则，，在中由余弦定理有：
,
解得，即.
故答案为：
14. 双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______．
【答案】．
【解析】
【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，进一步判断是等边三角形，在中利用余弦定理可得，即可得出关系，继而得出关系，求出渐近线方程.
【详解】根据题意，作出如下所示的图形，
由题可知，，由，∴∽，∴，
设，则，
∵平分，∴ ，
∴，，，
由双曲线的定义知，，
∴，即①，
，
∴，∴，即是等边三角形，
∴，
在中，由余弦定理知，
，即，
化简得，②，
由①②可得，，
则，
可得双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的渐近线的求解，解题的关键是利用已知结合双曲线的定义求出关系.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中，所有项的系数之和是512．
（1）求展开式中含项的系数；
（2）求的展开式中的常数项.
【答案】（1）27 （2）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；
（2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.
【小问1详解】
因为的展开式中，所有项的系数之和是512．
所以令，得，所以，
所以的展开式通项公式为，
令，解得，所以展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数为27.
【小问2详解】
由（1）知，，从而，
因为的展开式的通项为，
所以的常数项为，
又的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
16. 已知圆，直线l过点．
（1）若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意分析可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解；
（2）设，则，根据点在圆上列式求解即可得，进而可得直线方程.
【小问1详解】
由题意可知：圆的圆心为，半径，
若直线l被圆M所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为.
当直线斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，舍去；
当直线斜率存在时，设直线，即，
可得，所以，
则直线l方程为或.
【小问2详解】
设，因为A为BC中点，则，
由B在圆M上得，解得，则，
所以直线，即直线．
17. 已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可.
（3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可.
【小问1详解】
，，当时，，
两式相减得，即，
则有，当时，，则，即，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
小问2详解】
由（1）得，，则，数列是等差数列，
于是，解得，则，
所以的前项和
.
【小问3详解】
由（1）知，，
由成等差数列，得，整理得，
由，得，又，，不等式成立，
因此，即，令，则,
从而，显然，即，
所以存在，使得成等差数列.
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
18. 已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.
（1）求双曲线C：方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）过定点，（0，1）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求处标准方程；
（2）先判断出斜率存在，不妨设直线AB的方程为，代入双曲线方程，利用“设而不求法”，表示出，得到，即可得到直线AB的方程为，经过定点.
【小问1详解】
离心率为，则，，即双曲线方程为.
又点在双曲线C上，所以，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
【小问2详解】
当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，
设，，则，
由，得，即，
整理得，
所以，
整理得：，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点（0，1）.
19. 已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”．
（1）已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有的“数列”；
（2）若满足，，且数列为等差数列，的“数列”为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的前n项和．
【答案】（1）5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4．
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）结合题意可得，，进而分类结合“数列”求解即可；
（2）（ⅰ）结合等差数列的性质先求得，进而分n为奇数和n为偶数两种情况结合“数列”求解即可.
（ⅱ）当n为偶数时，结合错位相减法求和即可；当n为奇数时，为偶数，可得，进而求解即可.
小问1详解】
因为数列仅有5项，各项均为互不相等的正整数，且，，
所以，，
若，此时“数列”为5，5，5，5，1；
若，此时“数列”为5，5，5，5，2；
若，此时“数列”为5，5，5，5，3；
若，此时“数列”为5，5，5，5，4，
所以根据“数列”的定义可知有4个，
分别为5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4．
【小问2详解】
（ⅰ）因为为等差数列，设数列的公差为d，
且，，
所以，，，
所以等差数列的首项为1，公差为2，
所以，则．
当n为奇数时，，当n为偶数时，，
当且n为偶数时，，
所以，数列单调递减，
由“数列”的定义，可知，，
当且为奇数时，，
当且为偶数时，，且单调递减，
故，
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，当n为偶数时，
，，，
，①
，②
由，得
，
所以；
当n为奇数时，为偶数，
则，
故.
【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.