2024-2025学年福建省龙岩一中高二（下）第一次月考数学试卷（2月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省龙岩一中高二（下）第一次月考数学试卷（2月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若物体的运动方程是s=t3+t2−1，t=3时物体的瞬时速度是( )
A. 27B. 31C. 39D. 33
2.经过点(1,1)，且方向向量为v=(1,2)的直线方程是( )
A. 2x−y−1=0B. 2x+y−3=0C. x−2y+1=0D. x+2y−3=0
3.直线l1：kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+(2k+3)y−2=0互相垂直，则k=( )
A. −3或−1B. 3或1C. −3或1D. −1或3
4.方程(x+y−1) x2+y2−4=0所表示的曲线是( )
A. B.
C. D.
5.若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，则S4=( )
A. 29B. 33C. 31D. 30
6.某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有( )
A. 36种B. 24种C. 18种D. 12种
7.已知抛物线E：x2=8y，直线l：ax+y−3a−6=0，过抛物线的焦点F作直线l的垂线，垂足为P，若点Q是抛物线E上的动点，则|FQ|+|PQ|的最小值为( )
A. 3B. 4C. 72D. 172
8.已知中心在原点O，焦点在y轴上，且离心率为 23的椭圆与经过点C(−2,0)的直线l交于A，B两点，若点C在椭圆内，△OAB的面积被x轴分成两部分，且△OAC与△OBC的面积之比为3：1，则△OAB面积的最大值为( )
A. 8 73B. 4 73C. 24 77D. 12 77
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(1−2x)2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则( )
A. 展开式中所有项的二项式系数和为22021B. 展开式中所有奇次项系数和为32021−12
C. 展开式中所有偶次项系数和为32021−12D. a12+a222+a323+⋯+a202122021=−1
10.设k∈R，过定点A的动直线l1：x+ky=0，和过定点B的动直线l2：kx−y+3−k=0交于点P，M是圆C：(x−2)2+(y−4)2=4上的任意一点，则下列说法正确的有( )
A. 直线l1与圆C相切时k=43B. M到l1距离的最大值是2+2 5
C. 直线l2与圆C相交的最短弦长为2 2D. |PA|+|PB|的最大值为2 10
11.已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn+1=−Sn+n2，则( )
A. an+an+1=2n−1
B. 当a1=0时，S50=1225
C. 当a1=1时，{an}为等差数列
D. 当数列{an}单调递增时，a1的取值范围是(−14,14)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)是定义在R上的函数，f(x)=ax2−2x−1，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4，则a= ______．
13.设椭圆x29+y25=1的左右焦点为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|= ______．
14.双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，AF2=13BM，BF2平分∠F1BM，则Γ的渐近线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知(3x− x)n的展开式中，所有项的系数之和是512．
(1)求展开式中含x3项的系数；
(2)求(1+1x)(2x−1)n的展开式中的常数项．
16.(本小题12分)
已知圆M：(x−1)2+(y−2)2=4，直线l过点A(3,2)．
(1)若直线l被圆M所截得的弦长为2 3，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程．
17.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an−4an+1，a1=−1．
(1)证明：数列{2an+1−an}为等比数列；
(2)设bn=an+4n(n+1)，求数列{bn}的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q(p0)方程；
(2)设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q(2,1)，且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点(A,B异于点Q)，若k1+k2=1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
已知max{a1,a2,a3,…,ak}表示数列a1，a2，a3，…，ak中最大的项，按照以下方法：b1=max{a1,a2,a3,a4,…,an}，b2=max{a2,a3,a4,…,an}，b3=max{a3,a4,…,an}，…，得到新数列{bn}，则称新数列{bn}为数列{bn}的“max数列”．
(1)已知数列{an}仅有5项，各项互不相等，an∈{1,2,3,4,5}，且a4=5，请写出{an}所有的“max数列”{bn}；
(2)若{an}满足a1=−12，a100=1992100，且数列{(−2)nan}为等差数列，{an}的“max数列”为{bn}.
(ⅰ)求b2025；
(ⅱ)求{bn}的前n项和Sn．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.D
5.D
6.C
7.C
8.D
9.ABD
10.BC
11.BD
12.3
13.107
14.y=± 6x
15.解：(1)因为(3x− x)n的展开式中，所有项的系数之和是512，
所以令x=1，得：2n=512，所以n=9，
故展开式的通项公式为
Tr+1=C9r(3x−1)9−r(−x12)r=C9r39−r(−1)rx3r2−9，(r=0,1,2,⋯9)，
令32r−9=3，解得r=8，
C98×3=27，所以x3项的系数27；
(2)由(1)知，n=9，(1+1x)(2x−1)n=(2x−1)9+(2x−1)9x，
因为(2x−1)9的展开式的通项为Tk+1=C9k(2x)9−k(−1)k，k=0,1,2,⋯9，
所以(2x−1)9的常数项为T10=(−1)9=−1，
(2x−1)9x的常数项为C98(2x)(−1)8x=18，
所以(1+1x)(2x−1)n的展开式中的常数项为−1+18=17．
16.解：(1)当直线斜率不存在时，l：x=3与圆相切不符合题意，舍去．
当直线斜率存在时，设直线l：y−2=k(x−3)，即kx−y+2−3k=0，
圆心坐标为(1,2)，由弦长为2 3可知，圆心到直线的距离为1，
即|k−2+2−3k| k2+1=1，所以k=± 33，
∴直线l方程为 3x−3y+6−3 3=0或 3x+3y−6−3 3=0；
(2)设C(t,0)，∵A为BC中点，
∴B(6−t,4)，又B在圆M上，
∴(6−t−1)2+(4−2)2=4，
∴t=5，∴C(5,0)，
∴直线l：y−0=2−03−5(x−5)，
即直线l：y=−x+5．
17.解：(1)证明：由Sn=an−4an+1，a1=−1，
可得n=1时，a1=S1=a1−4a2，解得a2=0，
当n≥2时，由Sn=an−4an+1，可得Sn−1=an−1−4an，
两式相减可得an=Sn−Sn−1=an−4an+1−an−1+4an，
化为4an+1=4an−an−1，
即有2(2an+1−an)=2an−an−1，
则数列{2an+1−an}首项为2a2−a1=1，公比为12的等比数列；
(2)由(1)可得2an+1−an=(12)n−1，
即为2nan+1−2n−1an=1，
则数列{2n−1an}是首项为−1，公差为1的等差数列，即有2n−1an=−1+n−1=n−2，
则an=n−22n−1，bn=an+4n(n+1)=n+2n(n+1)⋅2n+3=1n⋅2n+2−1(n+1)⋅2n+3，
可得数列{bn}的前n项和为18−132+132−196+...+1n⋅2n+2−1(n+1)⋅2n+3=18−1(n+1)⋅2n+3；
(3)假设存在正整数p，q(p38，
当p=5时，p2p−1=516，q2q−1=116，
n≥6时，n+12n−n2n−1=1−n2n0
设B(x2,y2)，A(x1,y1)，那么根据韦达定理可得x1x2=2t2+22k2−1，x1+x2=−4kt2k2−1，
根据k1+k2=1，得y1−1x1−2+y2−1x2−2=1，即kx1+t−1x1−2+kx2+t−1x2−2=1，
整理得(2k−1)x1x2+(t−2k+1)(x1+x2)−4t=0，
所以(2k−1)⋅2t2+22k2−1+(t−2k+1)⋅(−4kt2k2−1)−4t=0，
整理得：t2+(2k−2)t−1+2k=0，即(t−1)(t+2k−1)=0，
所以t=1或t=1−2k．
当t=1时，直线AB的方程为y=kx+1，经过定点(0,1)；
当t=1−2k时，直线AB的方程为y=k(x−2)+1，经过定点Q(2,1)，不符合题意．
综上，直线AB过定点(0,1)．
19.解：(1)因为数列{an}仅有5项，各项均为互不相等的正整数，且1≤an≤5，a4=5，
所以b1=b2=b3=b1=a1=5，b5≠5，
若b5=a5=1，此时“max数列”{bn}为5，5，5，5，1；
若b5=a5=2，此时“max数列”{bn}为5，5，5，5，2；
若b5=a5=3，此时“max数列”{bn}为5，5，5，5，3；
若b5=a5=4，此时“max数列”{bn}为5，5，5，5，4；
(2)(ⅰ)因为{(−2)nan}为等差数列，设数列{(−2)nan}的公差为d，
且a1=−12，a100=1992100，
所以(−2)1a1=1，(−2)100a100=199，d=199−1100−1=2，
所以等差数列{(−2)nan}的首项为1，公差为2，
所以(−2)nan=2n−1，则an=2n−1(−2)n．
当n为奇数时，an=2n−1(−2)n0，
当n≥2且n为偶数时，an−an+2=2n−1(−2)n−2(n+2)−1(−2)n+2=6n−72n+2>0，
所以，数列{a2n}单调递减．
由“max数列”{bn}的定义，可知b1=b2=a2=322，b3=b4=a4=724，
当n≥2025且为奇数时，an0，且{a2n}单调递减，
故b2025=a2026=2×2026−1(−2)2026=405122026，
所以b2025=405122026．
(ⅱ)由(ⅰ)可知，
当n为偶数时，b1=b2=322，b3=b4=724，bn−1=bn=2n−12n，
Sn=2[322+724+1126+...+2n−12n]，①
14Sn=2[324+726+1128+...+2n−12n+2]，②
由①−②，得34Sn=2[322+424+426+428+...+42n−2n−12n+2]
=2{322+424[1−(14)n2−1]1−14−2n−12n+2}=2[1312−13×2n−2−2n−12n+2]=136−6n+133×2n+1，
所以Sn=19[26−6n+132n−1]；
当n为奇数时，n−1为偶数，
则Sn=Sn−1+bn=19[26−6n+72n−2]+2n+12n+1=19[26−30n+472n+1]，
故Sn=19[26−6n+132n−1],n为偶数19[26−30n+472n+1],n为奇数．