备战2025年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题24锐角三角函数及其应用(56题)(学生版+解析)

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一、单选题
1．（2024·云南·中考真题）在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可．
【详解】解：∵矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
过点作，则：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
3．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．米B．25米C．米D．50米
【答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可．
【详解】解：设米，
在中，，
，即，
整理得：米，
在中，，
，即，
整理得：米，
∵米，
∴，即，
解得：，
侧这栋楼的高度为米．
故选：A．
4．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值．
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故选：B．
6．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，解得，
∵平分，
∴，
∴，解得，
当时，线段长度的最小，
∵平分，
∴．
故选∶C．
7．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
设，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
8．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可．
【详解】解：如图，过点F作，垂足为H，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，即，
解得：，
，即，
解得：，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
9．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可．
【详解】解：∵折叠，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
10．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，作的高，，
是锐角三角形，
，在的内部，
，，
在中，，，
，
，
又，
，
故答案为：．
11．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
12．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
【答案】/
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
13．（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】/
【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案为：．
14．（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作的延长线于点，则，，
由图（）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案．
【详解】解：作，交y轴于点F，
由题可得：，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
16．（2024·黑龙江大庆·中考真题）求值：．
【答案】1
【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简即可得出答案．
【详解】解：
．
17．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：
方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）
【答案】树的高度为8米
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题．
方案一：作，在中，解直角三角形即可求解；
方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．
【详解】解：方案一：作，垂足为，
则四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴（米），
树的高度为米．
方案二：根据题意可得，
∵，
∴
∴，即
解得：米，
答：树的高度为8米．
18．（2024·山东泰安·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）7；（2）
【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键．
（1）利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算；
（2）利用分式的运算法则化简即可．
【详解】解：（1）；
；
（2）
．
19．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解即可求解；
（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
20．（2024·四川内江·中考真题）（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的运算．
（1）先计算绝对值，零次幂和特殊角的三角函数，再计算加减即可．
（2）先计算平方差公式，再合并同类项即可．
【详解】解∶（1）原式
，
（2）原式
21．（2024·湖南·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【详解】解：
．
22．（2024·四川广安·中考真题）计算：．
【答案】1
【分析】先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，掌握相应的运算法则是解本题的关键.
23．（2024·江苏盐城·中考真题）计算：
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数幂、代入特殊角三角函数值，再进行混合运算即可.
【详解】解：
24．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（）
【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解．
【详解】解：由已知，，
在图1中，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
在中，
在图2中，过点作于点，
∴
∵灯柱高，
点到桌面的距离为
答：此时台灯最高点到桌面的距离为．
25．（2024·四川泸州·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．
【详解】解：原式，
，
．
26．（2024·四川自贡·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正切值，再运算零次幂，绝对值，算术平方根，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
27．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【答案】(1)，两港之间的距离海里；
(2)甲货轮先到达港．
【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解；
（）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可；
本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
【详解】（1）如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
28．（2024·重庆·中考真题）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）

(1)求的长度（结果精确到千米）；
(2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
【答案】(1)千米
(2)甲选择的路线较近
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：
（1）过点B作于E，先求出，再解得到千米，进一步解即可得到千米；
（2）过点C作于D，先解得到千米，则千米，再得到千米，千米，最后解 得到千米，千米，即可得到千米，千米，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于E，

由题意得，，
∴，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴的长度约为千米；
（2）解：如图所示，过点C作于D，

在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
千米，
在中，，
∴千米，
千米，
∴千米，千米，
∵，
∴甲选择的路线较近．
29．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：
．
30．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1)求点离水平地面的高度．
(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)；
(2)电线塔的高度．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；
（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：电线塔的高度．
31．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）（）计算：；
（）已知，求代数式的值．
【答案】（）；（）．
【分析】（）利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解；
（）由得，化简代数式可得，代入计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
；
（）∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
32．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：）
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴．
答：大桥的长度约为米．
33．（2024·四川巴中·中考真题）（1）计算：
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再合并即可；
（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；
（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再代入计算即可．
【详解】解：（1）

；
（2），
由不等式①得：；
由不等式②得：；
∴原不等式组的解集为：；
（3）

；
当时，原式．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解本题的关键．
34．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
(1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明；
(2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为即可；
（2）过C作于E，分别在和中，利用正切的定义求出、，即可求解．
【详解】（1）解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为；
（2）解：如图，过C作于E，
则四边形是矩形，，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
答：教学楼的高度为．
35．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
【答案】(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【详解】（1）解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．

36．（2024·云南·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．
【详解】解：，
，
．
37．（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
【答案】的长为
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案；
【详解】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为；
38．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．
（1）直接根据矩形的判定证明即可；
（2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可．
【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形，且，
所以四边形是矩形．
所以；
（2）解：在中，，，
所以，
因为四边形是矩形，
所以，．
因为，所以．
过点O作于点F，则，
所以，
在中，，
所以．
39．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）

【答案】山顶C点处的海拔高度为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴山顶C点处的海拔高度为．
40．（2024·江苏扬州·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查分式的除法运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）将除法转换为乘法，再根据分式的乘法法则化简即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
41．（2024·四川眉山·中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、实数混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角函数以及绝对值的性质进行运算，即可获得答案．
【详解】解：
．
42．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可；
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
43．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
(1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________．
【答案】(1)，，，；
(2)，推导见解析；
(3)．
【分析】（）根据题意选择需要的数据即可；
（）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；
（）根据（）的结果即可求解；
本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：需要的数据为：，，，；
（2）解：过点作于点，则，
∵，
∴，
∴
∴，
即
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴按键顺序为，
故答案为：．
44．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
(1)求关于的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案；
（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；
（3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案．
【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，
将代入，
得，
解得，
；
（2）解：根据函数解析式得函数对称轴，
故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大；
（3）解：，
延长与过点作的线交于点，令，
，，
，
，
，
，
，
延长交与点，
，
，
，
，
，
．
45．（2024·四川凉山·中考真题）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：
．
46．（2024·四川凉山·中考真题）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

【答案】．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：塔高为．
47．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
(1)求“大碗”的口径的长；
(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
【答案】(1)“大碗”的口径的长为；
(2)“大碗”的高度的长为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解；
（2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
答：“大碗”的口径的长为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵矩形碗底，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
答：“大碗”的高度的长为．
48．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】(1)，
(2)2.0千米
(3)
【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可；
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
故答案为：；
（2）过点作，垂足为．
在中，，，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
49．（2024·山东烟台·中考真题）根据收集的素材，探索完成任务．
【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．
任务一：根据题意直接求解即可；
任务二：过E作于F，利用正切定义求得
【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即，
故答案为：冬至，；
任务二：过E作于F，则，米，，
在中，，
∴（米），
∵（米），
∴（米），
（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
50．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

【答案】9.2尺
【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．
【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
51．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）

【答案】32m
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案.
【详解】解：过点作于点，作于点

由题意得：，
在中，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中.
，
答：该风力发电机塔杆的高度为.
52．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，）

【答案】中轴上的长度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，分别求得的长，根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，

依题意，四边形是矩形，
∴，
∴
米
答：中轴上的长度为米．
53．（2024·四川宜宾·中考真题）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟记零指数幂，特殊角的三角函数值，分式化简的步骤是解题的关键．
（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义计算；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
54．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】C，D间的距离为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：作于点，
由题意得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D间的距离为．
55．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【答案】长江口的宽度为米.
【分析】如图，过作于，过作于，过作于，而，可得四边形，都是矩形，由题意可得：，，证明，可得，设，，再利用三角函数建立方程组求解即可.
【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，而，
∴四边形，都是矩形，
∴，，，，
∵由题意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，即，
，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴长江口的宽度为米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
56．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12个，
【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标；
（2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可；
（3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：解方程得，，
∴，即点A的坐标为，
把代入得，
∴，点D的坐标为；
（2）解：过点E作于点H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，有个，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴点N得坐标为；
当时，有个，如图，
当时，有个，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点与O重合，
故点得坐标为，
综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
实验主题
探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具
摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明
如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
课题
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
竹竿，米尺
测量示意图
说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角．
测量数据
……
……
探究太阳能热水器的安装
素材一
太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二
某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，．
，，
，，
，，
，，
素材三
如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一
确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算．
任务二
探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．