2023年全国中考数学真题分类汇编：专题22 锐角三角函数及其应用（共30题）（解析版）

这是一份2023年全国中考数学真题分类汇编：专题22 锐角三角函数及其应用（共30题）（解析版），共41页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
根据题意可得，在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
2．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．
【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，

∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
3．（2023·山东日照·统考中考真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
设，则，，
在中，，
，
，
灯塔的高度AD大约是．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．
4．（2023·吉林长春·统考中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.
【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆，
，
为直角三角形，
（米）.
故选：D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.
二、解答题
5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）
【答案】的长约为
【分析】延长交于点，过点B作，垂足为G，可得，，从而，，设，则，分别在直角和直角中求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，求出的长，再利用线段的和差关系计算即可解答 ．
【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，垂足为G，
由题意得：，，
，，
设，
，
则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
,
，
，
在中，，
，
，
，
的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键．
6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)

【答案】遮阳棚的宽度约为
【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，

，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．

(1)求两楼之间的距离．
(2)求大厦的高度．
（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】(1)两楼之间的距离约为
(2)大厦的高度为
【分析】（1）过点A作于点E，易得，根据，即可求解：
（2）易证四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形的性质得出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：过点A作于点E，
根据题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
答：两楼之间的距离约为．

（2）解：根据题意可得：，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：大厦的高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤．
8．（2023·陕西·统考中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，

【答案】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，
设，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
该景观灯的高约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）

【答案】
【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，

∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
10．（2023·山东济南·统考中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为
(2)没有危险,详见解析
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
11．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

【答案】千米
【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，

由垂线段最短可知，的长即为所求，
由题意得：，千米，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，千米，千米，
千米，
在中，千米，
答：输油管道的最短长度是千米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
12．（2023·浙江·统考中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．
(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）
【答案】(1)
(2)能，见解析
【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距离．
（2）解：能，理由如下：
过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
，
，
．
，
．
小若垫起脚尖后头顶的高度为．
小若头顶超出点N的高度．
小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．
13．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展]
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；
[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：[问题背景]如图所示：

，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：

，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
，
，
由题意得：，
，
，，
设，，则，，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
同【问题背景】得：，
，
，
解得：，
，
答：信号塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．
14．（2023·辽宁·统考中考真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．

(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；
(2)求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)米
(2)92米
【分析】（1）作于点E，利用三角函数解即可；
（2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求．
【详解】（1）解：如图，作于点E，则，

由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．
【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，
则，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤坝高为8米，山高为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2023·湖南娄底·统考中考真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点B出发按方向前进20米到达点E，即米，测得．已知，，求A、B两点间的距离．

【答案】A、B两点间的距离为500米．
【分析】如图，过作于，由，设，则，可得，而，可得，结合，即，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过作于，

∵，即，
设，则，
∴，而，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴（米），
答：A、B两点间的距离为500米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

【答案】垂直高度约为米
【分析】过点作于，作于，则四边形为矩形，在中利用正弦函数求出长度，在中，，可以求出长度，即可求出．
【详解】解：过点作于，作于，则四边形为矩形，

，
在中，，，
则（米），
米，
在中，，米，
则米，
米．
答：垂直高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答时需要过点作于，作于，然后根据特殊四边形和直角三角形中的边角关系进行计算．
18．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）

【答案】粮袋上升的高度是cm
【分析】先求出粮袋移动的距离，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，

则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
【点睛】本题考查求弧长，含30度的直角三角形．解题的关键是掌握粮袋移动的距离为大轮转动的距离．
19．（2023·湖北恩施·统考中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为；
【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可．
【详解】解：过作，垂足为，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．
20．（2023·辽宁营口·统考中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）

【答案】甲组同学比乙组同学大约多走米的路程
【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解．
【详解】如图，过B点作于点D，

根据题意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键．
21．（2023·山东·统考中考真题）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离．
参考数据：，，，，，．

【答案】米，米．
【分析】过点D作于F，解，得，解，得，所以，解得米，从而得米，再由矩形的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于F，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：(米)，
∴(米)，
∴(米)，
∵
∴矩形，
∴米，米．
答：遮阳蓬的宽为7.5米，到地面的距离为4.2米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（2023·江苏徐州·统考中考真题）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）

【答案】
【分析】先证四边形是矩形，四边形是平行四边形，得，然后在和中，解直角三角形以及由构造方程求解即可得解．
【详解】解：∵，，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴电视塔的高度．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是熟练解直角三角形，属于中考常考题型．
23．（2023·辽宁·统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】(1)登山缆车上升的高度
(2)从山底A处到达山顶处大约需要
【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；
（2）在中，求得的长，再计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
24．（2023·贵州·统考中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

(1)求索道的长（结果精确到）；
(2)求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案；
【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；

【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．
25．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．

(1)求自动扶梯的长度；
(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)25米
(2)米
【分析】（1）过D作于M，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解；
（2）过点D作于N，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利用线段的和差，即可解决问题．
【详解】（1）解：过D作于M，如图：

在中，，
∵(米)，
∴(米)，
由勾股定理得(米)
（2）如图，过点D作于N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴(米)，(米)，
由题意，(米)，
∵，
∴，
∴(米)，（米），
由题意，，(米)，
∴，
∴(米)，
∴米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

【答案】“龙”字雕塑的高度为．
【分析】在和中，分别求得和的长，据此求解即可.
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴,
答：“龙”字雕塑的高度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．（2023·内蒙古·统考中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

(1)求行进路线和所在直线的夹角的度数；
(2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)行进路线和所在直线的夹角为
(2)检查点和之间的距离为
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【详解】（1）解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
（2）过点A作，垂足为．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
28．（2023·吉林·统考中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【答案】，
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．
【详解】解：测角仪显示的度数为，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，

在中，，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
三、填空题
29．（2023·山东泰安·统考中考真题）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）

【答案】55
【分析】如图所示，过点E作于F，则四边形是矩形，可得到；设，则，解得到，解得到，进而建立方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：55．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
30．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．

【答案】
【分析】如图所示，过点作于点，分别解，求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴（千米）
改造后公路的长是千米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．
测出眼睛到地面的距离．
测出所站地方到古树底部的距离．
________．
．
．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）
（参考数据：）