2024-2025学年山东省烟台市招远市第二中学高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省烟台市招远市第二中学高二下学期第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.正八边形的对角线的条数为( )
A. 20B. 28C. 40D. 56
2.(x−1)10的展开式的第6项的系数是( )
A. −C106B. C106C. −C105D. C105
3.学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为( )
A. 5B. 12C. 20D. 120
4.已知随机变量X的分布列如下表，若E(X)=13，则D(X)=( )
A. 13B. 23C. 59D. 79
5.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有( )
A. A85种B. C85种C. 58种D. 85种
6.甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中(这20道题均不相同)各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为( )
A. 2581B. 12C. 1127D. 34
7.某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为( )
A. 815B. 3566C. 331660D. 351660
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式1+xm⋅1+xn=1+xm+n(m，n∈N∗)左右两边展开式xr(其中r∈N∗，r≤n，r≤m)系数相同，可得恒等式Cn0Cmr+Cn1Cmr−1+⋯+CnrCm0=Cn+mr，我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是( )
A. CnrCms=Cm+nn+s
B. C50C66+C51C65+⋯+C55C61=C116
C. C100C101+C101C102+⋯+C109C1010=C209
D. Cn12+Cn22+⋯+Cnn2=C2nn−1
9.已知1−x1−2x5=a0x+a1+a2x−1+a3x−2+a4x−3+a5x−4+a6x−5，则( )
A. a3=120B. a0+a2+a4+a6=−243
C. a1+a2+a3+a4+a5+a6=0D. a0+a1+a2+⋯+a6=486
10.一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的有( )
A. PX=1=15B. PX≥2=710C. EX=95D. DX=925
11.全国高考I卷数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是23，记X为小明随机选择1个选项的得分，记Y为小明随机选择2个选项的得分，则( )
A. PX=3=PY=4+PY=6B. EY0,β>0)，且每局比赛结果相互独立．
①若α=23,β=13，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为 ；
②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数X的期望EX的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？(用数字作答)
(1)无重复数字的四位奇数；
(2)无重复数字且能被5整除的四位数；
(3)无重复数字且比1203大的四位数．
16.(本小题15分)
(1)已知(3x2+3x2)n的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，求展开式中二项式系数最大的项．
(2)已知 x+2x2n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项．
17.(本小题15分)
某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得−10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为12,23，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲的得分X的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．
18.(本小题15分)
为了更好了解两会知识，某高中拟组织一次两会知识测试，从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一年级组12人，高二年级组10人，高三年级组8人，测试共分为两轮．
(1)第一轮测试按高一､高二､高三3个小组顺次进行，若一切正常，参测小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则参测小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每一小组正常完成测试的概率均为34，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组全部完成测试所需总时间为X，求X的分布列；
(2)第二轮测试将3组同学混合进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人测试时间相等．
①求最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率；
②若所有参加面试的同学都可以得到一本“两会纪念册”，成绩优秀的同学还可以多得一本“两会纪念册”，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为13，设这30名同学所得“两会纪念册”总数恰好为n个的概率为Pn，当Pn取最大值时，求n的值．
19.(本小题16分)
信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若A，B是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为p，若A，B的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后A，B中含有字节1的个数为X．
(1)若两次加密后的A，B中字节1的个数为2，且p=13，求A，B通过第一次加密后字节1的个数为2的概率；
(2)若一条信息有nn>1,n∈N∗种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为p1,p2,⋯,pn，则称H=fp1+fp2+⋯+fpn(其中fx=−xlg2x为这条信息的信息熵，试求A，B经过两次加密后字节1的个数为X的信息熵H；
(3)将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为YY=1,2,3,⋯,n.证明：EY1得，nPn，
当37≤n≤59,n∈N∗时，Pn+10,n(1−p)n>0，
所以EY