山东省烟台招远市第二中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省烟台招远市第二中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数为纯虚数,则( )
A.-1B.0C.1D.2
2．复数（i为虚数单位）,则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知G,O,H在所在平面内,满足,,,则点G,O,H依次为的( )
A.重心,外心,内心B.重心、内心,外心
C.重心,外心,垂心D.外心,重心,垂心
4．已知向量,,若与共线,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．若O是所在平面内的一点,且满足,则的形状为( )
A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形
6．在平行四边形中,已知,,则( )
A.B.
C.D.
7．在中,,当时,的最小值为4,若,,其中,则的最大值为( )
A.2B.C.D.
8．在斜中,A,B,C的对边分别为a,b,c,,,点O满足,且,则的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数,,下列说法正确的有( )
A.若,则
B.若,则z在复平面内对应的点在一个圆周上
C.若,则
D.若,则
10．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的有( )
A.为定值
B.当时，为定值
C.的最大值为12
D.的取值范围是
11．已知有两个不相等的非零向量,,两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个任意排列而成,记,表示S所有可能取值中的最小值,则下列说法正确的有( )
A.S有3个不同的值
B.若,则与无关
C.若,则与无关
D.若,,则与的夹角为
三、填空题
12．若（i为虚数单位）是关于x的实系数方程的一个根,则______________.
13．若内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,,则的值为_____________.
14．如图,在中,已知,,AB,BC边上的中线CE,AF交于点D,则______________.
四、解答题
15．已知向量,满足,,.
（1）求与的夹角的余弦值;
（2）求以,为邻边的三角形的面积;
（3）求.
16．已知,,,函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）在锐角中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足,,求周长的取值范围.
17．已知点G是边长为2的正的中心,线段DE经过点G分别交边AB,AC于点D,E,设,,其中,.
（1）求的值;
（2）求面积的最小值,并指出相应的m,n的值.
18．在中,已知,,,设点P为边上一点,点Q为线段延长线上的一点.
（1）当且P是边BC上的中点时,设与交于点M,求线段的长;
（2）设,若,求线段长度的最小值.
19．定义非零向量若函数解析式满足,则称为向量的“伴生函数”,向量为函数的“源向量”.
（1）已知向量为函数的“源向量”,若方程在上有且仅有四个不相等的实数根,求实数k的取值范围;
（2）已知点满足,向量的“伴生函数”在时取得最大值,当点A运动时,求的取值范围;
（3）已知向量的“伴生函数”在时的取值为.若在三角形中,,,若点O为该三角形的外心,求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：,
故且,故,
故选：C.
2．答案：D
解析：由得：,
,所以复数在复平面内对应的点为,位于第四象限,
故选：D.
3．答案：C
解析：因为,所以,
设AB的中点D,则,所以,
所以C,G,D三点共线,即G为的中线CD上的点,且,
所以G为的重心.
因为,所以,所以O为的外心;
因为,所以,即,
所以,同理可得：,,所以H为的垂心.
故选：C.
4．答案：D
解析：由向量,,
若与共线,则,所以,
则,
所以向量在向量上的投影向量为：,
故选：D.
5．答案：D
解析：,,
,两边平方,化简得,.
为直角三角形.
因为不一定等于,所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
6．答案：A
解析：因为,,
所以,,设,,
所以①
②
由①知③,
由②+③得,即
故选：A.
7．答案：B
解析：如下图所示：
在直线上取一点D,使得,所以,
当时,取得最小值为,即;
又,所以可得是以A为顶点的等腰直角三角形,
建立以A为坐标原点的平面直角坐标系,如下图所示：
又可得M为的中点,
由以及可得P在上,
可得,,,
所以,,可得,
则,
令,由可得,
所以,
,
由二次函数在上单调递减可得.
故选：B
8．答案：C
解析：因为,
由余弦定理得,
又因为是斜三角形,所以,所以,
由正弦定理得,所以,
因为,
所以,所以,
所以,所以,
所以,
因为,
化简得,解得或（舍去）,
所以,
设边的中点为D,则,
因为,所以,
即O为的中点,
所以.
故选：C.
9．答案：AB
解析：对于A,设,则,所以,所以,故A正确;
对于B,若,
则z在复平面内对应的点是以在复平面内对应的点为圆心,为半径的圆,故B正确;
对于C,当时,,而,故C错误;
对于D,当,时,,
而,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：如图，设直线PO与圆O交于E，F，对于A，
，
A选项正确；对于B，时，，，则，B选项正确；
对于C，圆O的半径为2，则，，，
因AC，BD不能同时过圆心，故不能取等号，，C选项错误；
对于D，取AC的中点为M，连接OM，
，
而，的取值范围是，D选项正确.故选：ABD
11．答案：ACD
解析：A选项,为,,中之一,
且包含以下三种情况,
的个数为3个,2个和1个,
当的个数为3个时,,
当的个数为2个时,,
当的个数为1个时,,
由于,为不相等的两个向量,
故,即,
所以,
,
故,所以S有3个不同的值,A正确;
B选项,由A选项知,,
若,则与有关,B错误;
C选项,若,则,与无关,C正确;
D选项,若,,
所以,即,
所以,则与的夹角为,D正确.
故选：ACD.
12．答案：-14
解析：由题意是关于x的实系数方程的一个根,
则,即,
即得,,
故,
故答案为：-14.
13．答案：
解析：根据正弦定理得,,
,,
B为锐角时,,
B为钝角时,.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为、边上的两条中线CE,AF交于点D,
所以,,
又,,,
则,,
,
则,
.
故答案为：.
15．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）,
,
,
;
（2）由（1）知,
,
的面积为
（3）由（1）知,
,
.
16．答案：（1）,
（2） .
（1）因为,,则,
,
故,
因为最小正周期为,所以,所以,故,
由,,解得,,
所以的单调递增区间为,.
（2）由（1）及,即,又,
所以,解得,
又为锐角三角形,即,即,解,
,
又,,,
,
所以周长的取值范围为.
17．答案：（1）;
（2）时,取得最小值.
解析：（1）延长AG交BC与F,由G是正三角形ABC的中心,得F为BC的中点,
则,
由,,
得,
又D,G,E三点共线,
所以,即;
（2）是边长为2的正三角形,则,,
,
由,则,
,,,
解得,
,
设,则,
则,
当且仅当,即时取等号,
所以当,即时,取得最小值.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,当,得A是的中点,
又P是的中点时,则M是的重心,
,
.
（2）设,则,
,
由,得：
,因为且,
所以即,
,
令,
则
,
当且仅当即时取到等号,所以t的最大值是,
又,
故线段的最小值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）3
解析：（1）因为向量为函数的“源向量”,
所以,
则方程在上有且仅有四个不相等的实数根,
所以在上有且仅有四个不相等的实数根,
令,
①当时,
②当时,,
所以 ,
其图象为：

结合,,,最大值为3,
故当在上有且仅有四个不相等的实数根时,
k的取值范围为.
（2）由题意得:
,其中,
当,即时,
取最大值,
故,
则,
令,由于,
故,
即
则,解得,
所以
因为单调递增,所以,
所以的取值范围为
（3）由题意得,,则,
在三角形中,
,,因此 ,
设三角形外接圆半径为R,
根据正弦定理,,故
所以
,,
代入得：,
所以当时,取得最大值3.