2024-2025学年湖南省衡阳市祁东鼎兴高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省衡阳市祁东鼎兴高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导数计算错误的是( )
A. 1x′=−1x2B. x2e2x′=2x−x2e2x
C. xlnx′=lnx+1D. tanx′=1cs2x
2.已知物体的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系S=2sinπt，则物体在t=2时的瞬时速度为( )
A. 2πm/sB. −2πm/sC. 2m/sD. −2m/s
3.在a+bn的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
4.若Am4=18Cm3，则m等于( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
5.将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为( )
A. 10B. 15C. 20D. 24
6.在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为( )
A. 20B. 14C. 12D. 6
7.若曲线y=x2−lnx的一条切线的斜率是−1，则切点的横坐标为( )
A. 1B. 12C. 22D. e
8.设函数fx的导函数为f′x，若fx=13x3−f′1⋅x2+x，则f′1=( )
A. −1B. 0C. 23D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. 若y=x2−1x，则y′=2x+1x2
B. 若y=xsinx，则y′=sinx−xcsx
C. 若y=2xex，则y′=2−2xex
D. 若y=2x+14，则y′=42x+13
10.下列问题属于排列问题的是( )
A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地
B. 从10个人中选2人去扫地
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算
11.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有( )
A. C52种B. C53种C. C62C种D. C64种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若C202n+6=C20n+2(n∈N∗)，则n= ．
13.用1,2,3,4,5组成所有没有重复数字的五位数中，满足2与4相邻并且1与5不相邻的五位数共有 个. (结果用数值表示)
14.曲线fx=3x+2lnx+1在点1,f1处的切线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的五位数中，求至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
16.(本小题15分)
某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会．
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种的选法？
17.(本小题15分)
已知函数fx=x3+x−16．
(1)求曲线y=fx在点2,−6处的切线方程；
(2)直线l为曲线y=fx的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
18.(本小题17分)
已知函数fx=ex−ax−1．
(1)当a=1时，求fx的单调区间与极值；
(2)若fx≤x2在x∈0,+∞上有解，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知：函数f(x)=(ax+1)ln(x)−ax．
(1)当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.D
5.A
6.B
7.B
8.C
9.AC
10.AD
11.AB
12.4
13.24
14.5x−y−4=0
15.解：(1)将所有的三位偶数分为两类：
(i)若个位数为0，则共有A42=12(个)；
(ii)若个位数为2或4，则共有2×3×3=18(个)，
所以，共有30个符合题意的三位偶数．
(2)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数共有4A44个，1和3相邻的五位数有3A22A33个，
∴至少有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数有4A44−3A22A33=60(个)．

16.解：(1)根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，
在剩下的18人中再选3人即可，有C183=816种选法；
(2)甲乙均不能参加，在剩下的18人中选5人即可，有C185=8568种选法；

17.解：(1)由fx=x3+x−16，得f′x=3x2+1，
所以f′2=3×22+1=13，
所以曲线y=fx在点2,−6处的切线方程为y+6=13x−2，即13x−y−32=0．
(2)设切点为x0,x03+x0−16，由(1)得f′x0=3x02+1，
所以切线方程为y−x03+x0−16=3x02+1x−x0，
因为切线经过原点，
所以−x03+x0−16=−x03x02+1，
所以2x03=−16，x0=−2．
则f′−2=3×−22+1=13，
所以所求的切线方程为y=13x，切点为−2,−26．

18.解：(1)当a=1时，fx=ex−x−1，所以f′x=ex−1
当x0，
所以fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以当x=0时函数fx有极小值f0=0，无极大值；
(2)显然在x=0时，不等式恒有解，
当x>0，fx≤x2在0,+∞上有解，即ex−x2−ax−1≤0在0,+∞上有解，
即a≥exx−x+1x在0,+∞上有解，
令gx=exx−x+1x，则g′x=exx−1x2−x2−1x2=x−1ex−x+1x2
由(1)知x>0时fx>f0=0，即ex−x+1>0，
当00在0,+∞上成立，
所以fx在0,+∞上递增；
(2)因为f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，
所以f′(x)=alnx+1x≥0，x∈(0,+∞)恒成立，
即axlnx+1≥0，x∈(0,+∞)恒成立，
令ℎx=axlnx+1，则ℎ′x=a1+lnx，
当a>0时，当0