2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点(0,0)和点(0,1)的直线倾斜角为( )
A. 45 ∘B. 90 ∘C. 135 ∘D. 0 ∘
2.已知非零向量a=(2,3,−1)和b=(4,λ,−2)互相垂直，则λ的值是( )
A. −6B. 6C. −103D. 103
3.若直线l1:ax+3y−6=0与直线l2:x+(a−2)y−2=0平行，则a=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
4.已知点C的坐标为1,1，动点P满足PC=2 2，O为坐标原点，则OP的最大值为( )
A. 4 2B. 3 2C. 2 2D. 2
5.记等差数列an的前n项和为Sn，若a6+a8=16，则S13=( )
A. 13B. 45C. 104D. 130
6.曲线fx=x3+x2−2在点−1,f−1处的切线方程为( )
A. y=x−1B. y=x+1C. y=x+3D. y=−x−1
7.下列求导运算正确的是( )
A. e1−x′=e1−xB. cs3x′=−sin3x
C. ( x−1)′=2 x−1D. xlnx′=1+lnx
8.用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有( )
A. 48个B. 60个C. 72个D. 120个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C:x2a2−y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若∣F1F2∣=2e(e为C的离心率)，则( )
A. a=1B. C的虚轴长为2 3
C. e= 2D. C的一条渐近线的斜率为 33
10.函数fx=x−1x2+x+aa∈R ，则下列说法正确的是( )
A. 当a=−2 时，fx的极小值为f−1
B. y=fx+a为奇函数
C. 当−20的下焦点为F0,−2，其离心率为 22．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆C交于P,Q两点(直线PQ与坐标轴不垂直)，过P,Q作y轴的垂线，垂足分别为M,N，若直线PN与QM交于点H，证明：点H的纵坐标为定值．
17.(本小题15分)
已知数列an满足a1=3,an+1=2an+1，
(1)请证明an+1是等比数列，并求数列an的通项公式an；
(2)令bn=2n+1an+1，求数列bn前n项的和Tn．
18.(本小题17分)
3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生互不相邻；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
19.(本小题17分)
设函数fx=lnx+ax−1x−2，a∈R．
(1)当a=1时，判断函数fx的单调性；
(2)若函数fx在定义域内有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；
(3)设fx的两个不同的极值点为x1,x2，证明：fx1+fx2>59+ln916．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.C
6.A
7.D
8.B
9.AB
10.BCD
11.ABD
12.2
13.12/0.5
14.18774
15.【详解】(1)依题意：以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
又D,E,F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2．
所以A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,P0,0,2,D12,0,0,E12,12,0,F0,12,1，
所以有：AP=0,0,2,DF=−12,12,1,DE=0,12,0，
设平面DEF的法向量为n=x,y,z，则有n⊥DF,n⊥DE.
所以n⋅DF=−12x+12y+z=0n⋅DE=12y=0⇒x=2zy=0，令z=1，有n=2,0,1，
设直线PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ=n⋅APnAP=22× 5= 55．
所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 55．
(2)因为DP=−12,0,2，由(1)有平面DEF的一个法向量为n=2,0,1，
所以点P到平面DEF的距离为：d=n⋅DPn=−1+2 5= 55．

16.【详解】(1)由题意可知，a2−b2=42a= 22,
解得a2=8,b2=4，
故椭圆C的标准方程为y28+x24=1．
(2)设直线PQ的方程为y=kx−2k≠0，
Px1,y1,Qx2,y2，则M0,y1,N0,y2，
由y28+x24=1y=kx−2，得k2+2x2−4kx−4=0，且Δ=16k2+16k2+2>0，
则x1+x2=4kk2+2,x1x2=−4k2+2，
易知直线PN与QM的斜率均存在，
则直线PN的方程为y=−y2−y1x1x+y2①，
直线QM的方程为y=y2−y1x2x+y1②，
联立①②消去x得，y=x1y2+x2y1x1+x2=x1kx2−2+x2kx1−2x1+x2
=−2+2kx1x2x1+x2=−2+−8kk2+24kk2+2=−4，
故点H的纵坐标为定值−4．

17.【详解】(1)因为an+1=2an+1，则an+1+1=2an+2=2an+1，
又a1+1=4，因此an+1是以4为首项，2为公比的等比数列，
由an+1=4⋅2n−1=2n+1，得到an=2n+1−1．
(2)由(1)知，bn=2n+1an+1=2n+12n+1，
所以Tn=3⋅22+5⋅23+7⋅24+⋯+2n+1⋅2n+1①，
则2Tn=3⋅23+5⋅24+7⋅25+⋯+2n−1⋅2n+1+2n+1⋅2n+2②，
由①−②得到−Tn=3⋅22+2⋅23+24+⋯+2n+2n+1−2n+1⋅2n+2=2⋅22+23+⋯+2n+2n+1+4−2n+1⋅2n+2，
所以−Tn=2⋅221−2n1−2+4−2n+12n+2=1−2n2n+2−4，
故Tn=2n−1⋅2n+2+4．

18.【详解】(1)从3名男生中任选2名有C32种选法，从4名女生中任选2名有C42种选法，
再将选取的4人排列有A44种排法，由乘法原理共有C32C42A44=432种排法，
(2)先将女生全排有A44种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有A53种，
由乘法原理共有A44A53=1440种排法．
(3)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66=3600种，
(4)甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有A22种，再与剩下的5个人排列有A66种，共有A22⋅A66=1440种.

19.【详解】(1)fx的定义域为0,+∞，当a=1时，f′x=1x+2x−3=2x2−3x+1x=2x−1x−1x，
令f′x=0，得x=12或1，
当x∈0,12∪1,+∞时，f′x>0；当x∈12,1时，f′x0x1x2=12a>0Δ=9a2−8a>0，解得a>89，
所以a的取值范围为89,+∞．
(3)fx1+fx2=lnx1x2+ax12+x22−3ax1+x2+4a=lnx1x2+ax1+x22−2x1x2−3ax1+x2+4a=−ln2a+74a−1，
设ga=−ln2a+74a−1,a>89，则g′a=74−1a=7a−44a>0，
则ga在89,+∞上单调递增，所以ga>g89=−ln169+59=59+ln916，
故fx1+fx2>59+ln916．