2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l的一个方向向量为(1, 3)，则直线l的倾斜角为( )
A. 0B. π6C. π4D. π3
2.已知直线l1：3x−2y+6=0和直线l2：4x+ay+3=0，若l1⊥l2，则实数a的值为( )
A. −6B. −83C. 83D. 6
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，a4=2，则{an}的公差为( )
A. −5B. −2C. −1D. 1
4.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，AE=4AF，则( )
A. DF=14AB+14AC−AD
B. DF=18AB+18AC−AD
C. DF=−14AB−14AC+AD
D. DF=−18AB−18AC+AD
5.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=5，直线l：mx+y−2m−3=0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
6.已知bn=lnan(n∈N∗)，则“{an}为正项等比数列”是“{bn}为等差数列”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线AB1与BD1所成角的余弦值为 55，则AA1的长为( )
A. 2 3B. 1或2 3C. 12D. 1或12
8.已知直线l经过抛物线y2=12x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则△OAB的面积为( )
A. 6 3B. 12 3C. 18 3D. 24 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，且C过点( 3,2)，则( )
A. C的焦点在y轴上B. C的方程为x22−y28=1
C. C的焦点到其渐近线的距离为2 2D. 直线2x−y−1=0与C有两个公共点
10.已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1=2，2Sn=(n+1)an，n∈N∗，则( )
A. {ann}为常数列B. {Snn}为单调递增数列
C. 3Sn>an2D. {1Sn}的前n项和恒小于1
11.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分∠F1PF2.过点F2作l的垂线，垂足为N，延长F1P、F2N交于点Q，若cs∠PF1F2=78，|MF1|=2|MF2|，则下列结论正确的是( )
A. |PF1||PF2|=2
B. △QF1F2的面积△PF1F2的面积=32
C. 椭圆C的离心率为34
D. |ON|=a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(m,2,3)，b=(−2,4,n)，若a/​/b，则m+n= ______．
13.已知F1，F2是双曲线x2−y22=1的左、右焦点，F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点，若△F1FF2是等边三角形，则该抛物线的方程为______．
14.如图，在第一象限，圆Cn(n∈N∗)均与直线y=0和y= 3x相切，且圆Cn与圆Cn+1外切，设第n个圆的半径为rn，面积为Sn，则r1r2= ______，若r2=3，则i=1nSi= ______.(用含n的式子表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的三个顶点分别是A(0,4)，B(−2,0)，C(8,0)，求：
(1)线段AB的垂直平分线的方程；
(2)△ABC的外接圆的方程．
16.(本小题15分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，DD1=CD=AD=2AB=2，AB//CD，点E为棱DD1的中点．
(1)证明：AE//平面BCD1；
(2)若AD⊥CD，求直线AE到平面BCD1的距离．
17.(本小题15分)
在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点P在圆O上运动，Q是线段PD的中点.(当点P经过圆O与x轴的交点时，规定点Q与点P重合)
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设直线y=12x+m与点Q的轨迹相交于不同的两点M、N，若A(0,−1)，问是否存在实数m使|AM|=|AN|？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2.BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求PC与平面AEF所成角的正弦值；
(3)若棱PB上一点G满足PG=λPB，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为 77，求λ．
19.(本小题17分)
已知数列{an}，{bn}，{cn}，n∈N∗，且bn=an+1−an，cn=bn+1−bn，若{bn}是一个非零常数列，则称{an}是一阶等差数列；若{cn}是一个非零常数列，则称{an}是二阶等差数列．
(1)若a1=1，b1=3，cn=2，试写出二阶等差数列{an}的前4项，并求an；
(2)若a1=5，且满足bn+1−cn=2an−4，
(i)判断{an}是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
(ii)记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式λ⋅3n+2Sn−4an0)，
根据题意，可得0+16+4E+F=04+0−2D+F=064+0+8D+F=0，解得D=−6E=0F=−16，
所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2−6x−16=0．
16.(1)证明：连接C1D，交CD1于点F，连接EF，BF，则F是CD1的中点，
因为点E为棱DD1的中点，所以EF//CD，EF=12CD=1，
又AB=1，AB/​/CD，
所以AB/​/EF，AB=EF，即四边形ABFE是平行四边形，
所以AE/​/BF，
因为AE⊄平面BCD1，BF⊂平面BCD1，
所以AE/​/平面BCD1．
(2)解：由直棱柱的性质可知：DD1⊥DA，DD1⊥DC，
因为AD⊥CD，所以DA，DC，DD1两两互相垂直，
故以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，
所以AB=(0,1,0)，BC=(−2,1,0)，CD1= (0,−2,2)，
设平面BCD1的法向量为n=(x,y,z)则n⋅BC=−2x+y=0n⋅CD1=−2y+2z=0，
令y=2，得n=(1,2,2)，
由(1)知AE/​/平面BCD1，
所以直线AE到平面BCD1的距离等价于点A到平面BCD1的距离，即|AB⋅n||n|=23．
17.解：(1)设Q(x,y)，P(x0,y0)(y0≠0)，
此时D(x0,0)，
因为点Q是线段PD的中点，
所以x=x0，y=y02，
当y0=0时，点Q与点P重合，
此时也满足x=x0，y=y02，
因为P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，
所以x02+y02=4，
可得x2+4y2=4，
即x24+y2=1，
则点Q的轨迹方程为x24+y2=1；
(2)联立y=12x+mx24+y2=1，消去y并整理得x2+2mx+2(m2−1)=0，
此时Δ=4m2−8(m2−1)>0，
解得m2