2024-2025学年广东省广州市天河中学高一下学期基础考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市天河中学高一下学期基础考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z满足z⋅1−i=2i，则复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)．∠ABC=45∘,AB=AD=1,DC⊥BC，则这块菜地的面积为( )．
A. 2+ 2B. 2 3C. 2+ 22D. 3
3.对于非零向量a,b，下列命题中正确的是( )．
A. a⋅b=0⇒a//b
B. a//b⇒a在b上的投影向量为−ae(e是与b方向相同的单位向量)
C. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2
D. a⋅b=b⋅c⇒a=c
4.在▵ABC中，a,b,c是角A,B,C分别所对的边，∠B=60 ∘,b2=ac，则▵ABC一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
5.已知向量a，b不共线，且向量c=a+λb，d=2λ−1a+b，若c与d方向相反，则实数λ的值为( )
A. −1B. −12C. 1或−12D. −1或12
6.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120∘,AB=AD=1, 若点E为边CD上的动点，则AE⇀⋅BE⇀的最小值为
A. 2116B. 32C. 2516D. 3
7.设锐角▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A=π3,a= 3，则b2+c2+bc的取值范围为( )
A. (1,9]B. (3,9]C. (5,9]D. (7,9]
8.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b,BE=3EF，则AE=( )
A. 1225a−1625bB. 1625a+1225bC. 1225a+925bD. 925a−1225b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足|z|=2，则( )
A. z可以是−1+ 3iB. 若z为纯虚数，则z的虚部是2
C. zz=4D. |z+1|min=1
10.(多选)▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A+sin2B>sin2C，则▵ABC是锐角三角形
C. 若acsA=bcsB，则▵ABC为等腰三角形
D. 若a=8,c=10,A=π4，则符合条件的▵ABC有两个
11.在▵ABC中，C=45 ∘，AB+3AC⋅BC=0，则下列说法正确的是( )
A. sinB= 1010B. tanA=−2
C. BA在BC方向上的投影向量为34BCD. 若AC= 2，则AB⋅AC=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，复数z=2−i3+2i，则z=
13.在▵ABC中，a=2，b=3，若该三角形为钝角三角形，且b为最大边，则边c的取值范围是 ．
14.若▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，tanB=csC−sinCcsC+sinC，a= 2c，点D在边BC上，AD=b且▵ADB的面积为2− 32，则AC= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=e1−e2，b=2e1+e2，其中e1=−1,1，e2=1,0，求：
(1)a⋅b和a+b的值；
(2)a与b的夹角θ的余弦值．
16.(本小题15分)
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csAccsB+bcsC=a．
(1)求A；
(2)若a=2，▵ABC的面积为 3，求b，c的值．
17.(本小题12分)
已知甲船正在大海上航行，当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ∘，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：tan41 ∘= 32).
(1)试问乙船航行速度的大小；
(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东…度)．
18.(本小题17分)
记▵ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 2csB，a2+b2−c2= 2ab
(1)求B；
(2)若B的角平分线交AC于点D，且BD=1，求△ABC的面积．
(3)若▵ABC的面积为3+ 3，求c．
19.(本小题17分)
如图，在四边形ABCD中，已知▵ABC的面积为S1= 34AC2−AB2−BC2，记▵ACD的面积为S2．

(1)求∠ABC的大小；
(2)若▵ABC外接圆半径为1，求▵ABC的周长最大值．
(3)若CD= 3BC，设∠CAD=30 ∘，∠BCD=120 ∘，问是否存在常数λ，使得S1=λS2成立，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.A
9.ACD
10.AD
11.ABC
12.8−i
13.1, 5
14. 3−1
15.【详解】(1)因为a=e1−e2=−2,1，b=2e1+e2=−1,2
所以a⋅b=−2×−1+1×2=4，
所以a+b2=a2+b2+2a⋅b=5+5+2×4=18，
所以a+b=3 2．
(2)csθ=a⋅bab=4 5× 5=45．

16.【详解】(1)由正弦定理及2csAccsB+bcsC=a．
得2csAsinCcsB+sinBcsC=sinA，
即2csAsinC+B=sinA，
即2csAsinA=sinA，
因为0