广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期能力测试数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期能力测试数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 设是等比数列，且，，则（ ）
2. 在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）
3. 将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ）
4. 已知是函数的极小值点，则（ ）
5. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ）
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
7. 已知变量的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：
由上表可得线性回归方程，则（ ）
8. 已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 如图是一块高尔顿反示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
10. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
11. 一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知数列满足，且，该数列前20项和________．
13. 汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼．在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种不同的馅：绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头，小王在今年元宵节时，盛了一碗（10个）汤圆，其中绿豆馅、红豆馅的汤圆各4个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1个，则小王在碗里随机取的4个汤圆中，在吃到1个芋头馅的前提下，4个汤圆中恰有3种不同馅的概率为________．
14. 甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之后球在乙手中的概率为．则______，______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，求证：．
16. 某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
(1)求关于的经验回归方程；
(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；
(3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
17. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若函数有两个零点，求的取值范围
18. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单.
(1)根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联.
(2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望.
(3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时的值.
附：，其中.
19. 已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期能力测试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：数列、计数原理与概率统计、函数与导数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．12
B．24
C．30
D．32
A．
B．
C．
D．
A．480种
B．1560种
C．2640种
D．640种
A．
B．0
C．
D．或
0.025
0.010
0.005
0.001
5.02
6.635
7.879
10.828
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”
C．有99.99%以上的把握认为“药物有效”
D．有99.99%以上的把握认为“药物无效”
A．
B．
C．
D．
16
17
18
19
50
34
41
31
A．－5
B．
C．126.5
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为
D．
A．若，则
B．若，则成对数据的样本相关系数等于
C．若，则成对数据的样本相关系数大于
D．若，则成对数据的经验回归方程
好评
非好评
合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
3
适中
13
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；等比数列片段和性质及应用
2
0.85
二项式系数的增减性和最值；求指定项的系数
3
0.65
分组分配问题
4
0.65
根据极值点求参数
5
0.94
独立性检验解决实际问题
6
0.85
由函数的单调区间求参数
7
0.85
非线性回归；根据样本中心点求参数
8
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式
二、多选题
9
0.65
二项分布的方差；服从二项分布的随机变量概率最大问题；二项分布的均值
10
0.65
由递推关系证明等比数列；裂项相消法求和
11
0.65
相关系数的意义及辨析；相关系数的计算
三、填空题
12
0.65
由递推数列研究数列的有关性质；分组（并项）法求和；求等差数列前n项和；求等比数列前n项和
13
0.65
计算古典概型问题的概率；计算条件概率；实际问题中的组合计数问题
14
0.4
写出等比数列的通项公式；利用全概率公式求概率
四、解答题
15
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；错位相减法求和；等差中项的应用；求等比数列前n项和
16
0.65
求回归直线方程；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；根据回归方程进行数据估计
17
0.65
利用导数研究函数的零点；含参分类讨论求函数的单调区间；用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值
18
0.65
独立性检验解决实际问题；服从二项分布的随机变量概率最大问题；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值
19
0.4
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究函数的零点
序号
知识点
对应题号
1
数列
1,10,12,14,15
2
计数原理与概率统计
2,3,5,7,9,11,13,14,16,18
3
函数与导数
4,6,8,17,19