2024-2025学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=1i的虚部等于( )
A. 1B. iC. −1D. −i
2.如果向量a，b是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是( )
A. a=1B. a=bC. a2=b2D. a⋅b=1
3.某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为( )
A. 400件B. 600件C. 1000件D. 1200件
4.甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A=“甲元件故障”，事件B=“乙元件故障”，且P(A)=15，P(B)=16，则P(A∪B)=( )
A. 13B. 23C. 130D. 2930
5.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=2,|b|=2,|c|=4，则|a+b+c|=( )
A. 2B. 8C. 2或2 2D. 2或8
6.在△ABC中，∠C=π2，AC=3，BC=4，现以AB所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为( )
A. 845πB. 12πC. 1685πD. 56425π
7.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π20，P(N)>0，则事件M，N不互斥
11.如图，正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是2 3，则( )
A. B1C⊥平面ACC1A1
B. 直线AA1与底面A1B1C1所成的角为60°
C. 正三棱台ABC−A1B1C1的外接球体积为32 3π
D. 若点P为底面ABC的动点，且A1P=2 3，则P的轨迹长度为2 33π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是______．
13.设z∈C，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足1≤|z|≤ 2条件点Z的集合构成图形的面积为______．
14.已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，则△ABC的周长的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，BC=CC1=2．
(1)求证：直线DB//平面AB1D1；
(2)求点A1到平面AB1D1的距离．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(csA,sinB)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积为2 3，a=2 3，且BC=2DC，求|AD|．
17.(本小题15分)
一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同．
(1)若m=2，n=3，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率；
(2)若m=4，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是47，求n；
(3)若m+n=10，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是P(n)，求P(n)的最大值．
18.(本小题17分)
从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(1)求x的值；
(2)若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119(kW⋅ℎ)；
(Ⅰ)估计105户居民用户月用电量落在[125,225)中的可能性；
(Ⅱ)将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值．
19.(本小题17分)
在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为棱B1C1的中点，F为棱BB1的动点，连接AE、EF、AF．
(1)证明：AE⊥BC；
(2)线段BB1上是否存在点F，使得二面角A−EF−C的正切值为 2，若存在，请求出BF的长度；若不存在，请说明理由；
(3)平面AEF与棱A1C1交于点G，设四边形AFEG的面积为S0，△AEG面积为S1，△AEF面积为S2，求S02S1S2的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.A
5.D
6.A
7.D
8.B
9.ABD
10.BCD
11.BCD
12.19
13.π
14.(1, 3)∪( 5,3)
15.(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1//CC1//DD1，BB1=CC1=DD1，
则四边形BDD1B1是平行四边形，BD//B1D1，而BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以直线DB//平面AB1D1；
(2)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，由AB=1，BC=CC1=2，
得AB1=B1D1= 5，AD1=2 2，
等腰△AB1D1的面积S△AB1D1=12AD1⋅ AB12−(12AD1)2= 2⋅ 3= 6，
S△A1B1D1=1，
设点A1到平面AB1D1的距离为d，
由VA1−AB1D1=VA−A1B1D1，
得13S△AB1D1⋅d=13S△A1B1D1⋅AA1，
即 6d=2，解得d= 63，
所以点A1到平面AB1D1的距离为 63．
16.(1)因为m=(a, 3b)，n=(csA,sinB)，且m//n，
所以asinB− 3bcsA=0，即asinB= 3bcsA，
由正弦定理得sinAsinB= 3sinBcsA，
因为0