2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.下列叙述中正确的是( )
A. 已知向量a，b，且a//b，则a与b的方向相同或相反
B. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若a//b，b//c，则a//c
D. 对任一非零向量a，aa是一个单位向量
2.已知向量a=−1,1,b=2,x，若a//b，则a−b=( )
A. 3 2B. 3C. 2 2D. 2
3.在▵ABC中，已知a=8,B=30∘,C=105∘，则b等于( )
A. 323B. 4 3C. 4 6D. 4 2
4.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A. a+2bB. 2a+bC. a−2bD. 2a−b
5.如图，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3CE，则DE=( )
A. 34b−13aB. 512b−34aC. 34a−13bD. 512a−34b
6.若e1，e2是夹角为60 ∘的两个单位向量，且a=2e1+e2与b=−3e1+2e2的夹角为( )
A. 60 ∘B. 120 ∘C. 30 ∘D. 150 ∘
7.如图，正方形ABCD的边长为2,M,N分别为AB,BC边上的动点，若E为MN的中点，且满足BE=1，则DM⋅DN的最小值为( )
A. 8−4 2B. 4C. 16−8 2D. 8
8.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a−b=ccsB−csA，则▵ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量a=2,1，b=−2,1，则( )
A. a=b
B. 与向量a共线的单位向量是2 55, 55
C. a+b⊥a−b
D. 向量a在向量b上的投影向量是35b
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是( )
A. a=7，b=14，A=30°，有两解
B. a=30，b=25，A=150°，有一解
C. a= 3，b= 6，A=60°，无解
D. a=6，b=9，A=45°，有两解
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在▵ABC中，若A>B，则sinA>sinB
B. 在锐角▵ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在▵ABC中，若acsA=bcsB，则▵ABC必是等腰直角三角形
D. 在▵ABC中，若B=60 ∘，b2=ac，则▵ABC必是等边三角形
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知空间向量a和b的夹角为π3，|a|=2，|b|=3，则a−2b= ．
13.已知向量a，b的夹角为π3，且|a|=4,|b|=2，则向量a+2b在向量a上的投影向量为 ．(用a表示)
14.已知在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 2(a2+b2−c2)=absinC，c=2，则▵ABC的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知向量a=−3,1，b=1,−2，n=a−kbk∈R．
(1)若n与向量2a−b垂直，求实数k的值；
(2)若向量c=1,−1，且n与向量kb+c平行，求实数k的值．
16.已知向量a与b的夹角为θ=3π4，且a=3,b=2 2．
(1)求a⋅b,a+b；
(2)求a与a+b的夹角的余弦值；
(3)若ka+2b与3a+4b夹角为钝角，求实数k的取值范围．
17.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，且▵ABC的面积为 3，求b+c的值．
18.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为30∘，60∘，45∘.且AB=BC=75米，则滕王阁高度OP= 米.
19.在▵ABC中，CA=a，CB=b，若D是AB的中点AD=12AB，则CD=12a+12b；若D是AB的一个三等分点AD=13AB，则CD=23a+13b；若D是AB的一个四等分点AD=14AB，则CD=34a+14b
(1)如图①，若AD=λAB，用a，b表示CD，你能得出什么结论？并加以证明．
(2)如图②，若CM=12MB，CN=NA，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，CB分别交于点P，Q．
①利用(1)的结论，用a，b表示CO；
②设CP=xCA，CQ=yCB(x>0,y>0)，求x+y的最小值．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.D
5.B
6.B
7.A
8.D
9.AC
10.BC
11.ABD
12.2 7
13.32a 或1.5a
14. 2
15.解：(1)∵向量a=−3,1，b=1,−2，n=a−kbk∈R．
∴n=a−kb=−3−k,1+2k，2a−b=−7,4，
∵n与向量2a−b垂直，
∴n⋅2a−b=−3−k×−7+1+2k×4=0，
解得k=−53．
(2)∵向量c=1,−1，∴kb+c=k+1,−2k−1，
∵n与向量kb+c平行，
∴−3−k⋅−2k−1=1+2k⋅k+1，
解得k=−12．
16.解：(1)由题目条件知a⋅b=abcs3π4=3⋅2 2⋅− 22=−6，a+b= a+b⋅a+b= a2+b2+2a⋅b= 9+8−12= 5．
(2)csa,a+b=a⋅a+baa+b=a2+a⋅baa+b=9−63⋅ 5= 55．
(3)由于ka+2b⋅3a+4b=3ka2+8b2+4k+6a⋅b=27k+64−64k+6=3k+28，
ka+2b= ka+2b2= k2a2+4ka⋅b+4b2= 9k2−24k+32，
3a+4b= 3a+4b2= 9a2+24a⋅b+16b2= 81−144+128= 65，
而ka+2b与3a+4b夹角为钝角，这等价于ka+2b⋅3a+4b