2024-2025学年福建省厦门市松柏中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省厦门市松柏中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量a=(2,0),b=(1,1)，则下列结论正确的是( )
A. a⋅b=1B. |a→|=|b→|C. (a−b)⊥bD. a//b
2.已知平面向量a, b, c满足a+b+c=0，且|a|=|b|=|c|=1，则a⋅b的值为( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
3.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=π3，b=6，sinA−2sinC=0，则a=( )
A. 3B. 2 3C. 4 3D. 12
4.已知在矩形ABCD中，AE=13AB，线段AC，BD交于点O，则EO=( )
A. 12AB+16ADB. 16AB+13ADC. 13AB+16ADD. 16AB+12AD
5.已知单位向量a，b满足|a+b|=1，则a在b方向上的投影向量为( )
A. 12bB. −12bC. 12aD. −12a
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠BAC=120°，c=2，b=1，D为BC边上一点，且∠BAD=90°，则△ACD的面积为( )
A. 34B. 35C. 36D. 310
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c−acsB=(2a−b)csA，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A,B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB)⋅PC的最小值是( )
A. 2B. 0C. −1D. −2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=4，A=30°.则b可以为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
10.如图，点C，D是线段AB的三等分点，则下列结论正确的有( )
A. AC=DBB. AB=ACC. AB=32CDD. AD=2CD
11.在△ABC中，A=60°，周长为10，面积为5 32，则( )
A. △ABC为钝角三角形B. AB+AC=132
C. BC=72D. BC边上的高为10 37
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知b=(2,1)，c=(1,x)，b⋅c=4，则cs〈b,c〉= ______．
13.如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为2π3，则F3的大小为______．
14.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acsB=bcs∠BAC，M是BC的中点，若AM=4，则b+ 2c的最大值为______．
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题11分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)．
(1)若|b|=2 5，且a//b，求b的坐标；
(2)若|c|= 10，且2a+c与4a−3c垂直，求a与c的夹角θ．
16.(本小题12分)
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且csB=45，b=2．
(1)当A=π6时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a+c的值．
17.(本小题12分)
如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点．
(1)若cs∠CAB=13，当k为何值时，AC+2AB与kAC−AB垂直？
(2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB，AQ=μAC，求λ+μ+23最小值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．
(1)已知sinA=cs2B−cs2CsinA−sinB，c=3，a+b=3 2．
①求∠C；
②若∠ACB的平分线交AB于点D，求线段CD的长；
(2)若△ABC是锐角三角形，∠C为(1)中所求，H为△ABC的垂心，且CH=3，求 3CH−AHBH的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.D
5.B
6.D
7.D
8.D
9.AB
10.AD
11.BCD
12.45
13. 3
14.8 2
15.解：(1)设b=(x,y)，则由|b|=2 5，可得x2+y2=(2 5)2，由a//b，可得2x−y=0，
联立x2+y2=20y=2x，解得x=2y=4或x=−2y=−4，
∴b=(2,4)或b=(−2,−4)；
(2)∵2a+c与4a−3c垂直，
∴(2a+c)⋅(4a−3c)=0，即8a2−2a⋅c−3c2=0，
又|a|= 5,|c|= 10，
∴8×5−2× 5× 10cs−3×10=0，
∴cs= 22，
又∈[0,π]，
∴a与c的夹角θ=π4．
16.解：(1)∵csB=45，∴sinB=35．
由正弦定理得asinA=bsinB,可得asinπ6=103．
∴a=53．
(2)∵△ABC的面积S=12acsinB,sinB=35，
∴310ac=3 ,ac=10．
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
得4=a2+c2−85ac=a2+c2−16，即a2+c2=20．
∴(a+c)2−2ac=20，(a+c)2=40，
∴a+c=2 10．
17.解：(1)如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点，
因为CA=CB=3，cs∠CAB=13，
在△ABC中，由余弦定理得CB2=AC2+AB2−2AC×AB×cs∠CAB，
即AB2−2AB=0，所以AB=2，
若AC+2AB与kAC−AB垂直，则(AC+2AB)⋅(kAC−AB)=0，
所以kAC2+(2k−1)AB⋅AC−2AB2=0，
根据平面向量的数量积公式可得9k+(2k−1)×2×3×13−8=0，
解得k=1013，即k=1013时，AC+2AB与kAC−AB垂直；
(2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB，AQ=μAC，
因为G为△ABC的重心，所以AG=23⋅12(AB+AC)=13AB+13AC，
又因为AP=λAB，AQ=μAC，所以AG=13AB+13AC=13λAP+13μAQ，
由于P，G，Q三点共线，所以存在实数t使得PG=tPQ，所以AG−AP=t(AQ−AP)，
化简为AG=(1−t)AP+tAQ，所以13λ+13μ=1，所以1λ+1μ=3，
显然λ>0，μ>0，根据基本不等式可得λ+μ=13(λ+μ)(1λ+1μ)=13(2+μλ+λμ)≥13(2+2 μλ×λμ)=43，
当且仅当λμ=μλ时，即λ=μ=23时，取最值，
则λ+μ+23的最小值为2．
18.解：(1)①∵sinA=cs2B−cs2CsinA−sinB，
cs2B=1−sin2B，cs2C=1−sin2C，
∴sin2A−sinAsinB=sin2C−sin2B，
由正弦定理得a2−ab=c2−b2，即c2=a2+b2−ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=12，
∵C∈(0,π)，∴C=π3；
②∵a+b=3 2，c=3，∴c2=a2+b2−2ab×12=(a+b)2−3ab，
即32=(3 2)2−3ab，解得ab=3，设AB边上的角平分线CD长为x，
则S△ABC=12absinC=12axsinC2+12bxsinC2=12(a+b)xsinC2，
即3 32=3 22x，解得x= 62，即AB边上的角平分线CD长为 62；
(2)如图，延长AH交BC于E，延长BH交AC于F，
设∠BCH=θ，θ∈(0,π3)，∴∠ACH=π3−θ，
在Rt△CEH中，EH=CHsinθ=3sinθ，
在△CFB中，∠FCB=π3，∠BFC=π2，∴∠FBC=π6，
在Rt△BEH中，BH=EHsinπ6=6sinθ，
同理可得在Rt△AFH中，AH=2FH=6sin(π3−θ)，
∴ 3CH−AHBH=3 3−6sin(π3−θ)6sinθ= 3−2(sinπ3csθ−csπ3sinθ)2sinθ
= 3− 3csθ+sinθ2sinθ= 3(1−csθ)2sinθ+12
=2 3sin2θ24sinθ2csθ2+12= 32tanθ2+12，
∵θ∈(0,π3)，∴θ2∈(0,π6)，∴tanθ2∈(0, 33)，
∴ 32tanθ2+12∈(12,1)，即 3CH−AHBH的取值范围为(12,1)．