2024-2025学年福建省厦门一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省厦门一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数f(x)=x2+1，当自变量x由1增加到1+Δx时，函数的平均变化率为( )
A. 2B. Δx+(Δx)2C. Δx+2D. −Δx−2
2.下列求导运算正确的是( )
A. (csπ3)′=−sinπ3B. (1x)′=1x2
C. (lg2x)′=1xln2D. (3x)′=3x
3.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为( )
A. y=2x−eB. y=−2e−eC. y=2x+eD. y=−x−1
4.若f(x)=x2−2x−4lnx，则f(x)的单调递增区间为( )
A. (−1,0)B. (−1,0)∪(2,+∞)
C. (2,+∞)D. (0,+∞)
5.设函数f(x)=exx+a，若f(x)的极小值为 e，则a=( )
A. −12B. 12C. 32D. 2
6.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，斜率为k的直线l经过点F，并且与抛物线C交于A、B两点，与y轴交于点M，与抛物线的准线交于点N，若AF=2MN，则k=( )
A. 3B. 2C. ± 2D. ± 3
7.已知正数a，b，c满足lna=b=ec(e为自然对数的底数)，则下列不等式一定成立的是( )
A. ac>bB. acbD. a+c20恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=2an+2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=23x3+ax2+2(a−1)x+1(a∈R)．
(1)若a=0，求f(x)在[−3,32]上的最值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=xln(x−1)．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)，求函数g(x)的最小值；
(Ⅲ)若f(x)x−a>2，求实数a的值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．
(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)若AB=2，G为△BCD的内心，求直线PG与平面PCD所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
意大利画家达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数f(x)=ex+e−x2的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为cℎ(x)=ex+e−x2，把g(x)=ex−e−x2称为“双曲正弦函数”，记sℎ(x)=ex−e−x2，易知sℎ(2x)=2sℎ(x)⋅cℎ(x)．
(1)求证：(i)当x≥0时，sℎ(x)≥0；(ii)cℎ(x)≥1+12x2；
(2)求证：若x1>0，x2>0，则[cℎ(x2)+sℎ(x2)−x2−1]⋅[cℎ(x1)+sℎ(x1)]>sin(x1+x2)−sinx1−x2csx1．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
9.AB
10.ABD
11.ACD
12.−1
13. 2
14.(0,2e]
15.解：(1)因为a1，a3，a9成等比数列，所以a32=a1a9，
设等差数列{an}的公差为d，所以(1+2d)2=1+8d，
解得d=1，
所以an=1+(n−1)×1=n．
(2)因为bn=2an+2an=2n+2n，
所以Sn=b1+b2+b3+⋯+bn
=(21+22+23+⋯+2n)+(2+4+6+⋯+2n)
=2(1−2n)1−2+n(2+2n)2=2n+1−2+n(n+1)．
16.解：(1)当a=0时，f(x)=23x3−2x，f′(x)=2x2−2=2(x+1)(x−1)，
当x∈[−3,32]，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示，
所以f(x)在区间[−3,32]的最大值为43，最小值为−12．
(2)f′(x)=2x2+2ax+2(a−1)=2(x+1)(x+a−1)，
令f′(x)=0，得x=−1或x=1−a，
当−1>1−a，即a>2时，f′(x)>0，得x−1，f′(x)