福建省厦门市松柏中学2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份福建省厦门市松柏中学2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量a=(2,0),b=(1,1)，则下列结论正确的是( )
A. a⋅b=1B. |a→|=|b→|C. (a−b)⊥bD. a//b
2.已知平面向量a, b, c满足a+b+c=0，且|a|=|b|=|c|=1，则a⋅b的值为( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
3.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=π3，b=6，sinA−2sinC=0，则a=( )
A. 3B. 2 3C. 4 3D. 12
4.已知在矩形ABCD中，AE=13AB，线段AC，BD交于点O，则EO=( )
A. 12AB+16ADB. 16AB+13ADC. 13AB+16ADD. 16AB+12AD
5.已知单位向量a，b满足|a+b|=1，则a在b方向上的投影向量为( )
A. 12bB. −12bC. 12aD. −12a
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠BAC=120°，c=2，b=1，D为BC边上一点，且∠BAD=90°，则△ACD的面积为( )
A. 34B. 35C. 36D. 310
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c−acsB=(2a−b)csA，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A,B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB)⋅PC的最小值是( )
A. 2B. 0C. −1D. −2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=4，A=30°.则b可以为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
10.如图，点C，D是线段AB的三等分点，则下列结论正确的有( )
A. AC=DBB. AB=ACC. AB=32CDD. AD=2CD
11.在△ABC中，A=60°，周长为10，面积为5 32，则( )
A. △ABC为钝角三角形B. AB+AC=132
C. BC=72D. BC边上的高为10 37
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知b=(2,1)，c=(1,x)，b⋅c=4，则cs〈b,c〉= ______．
13.如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为2π3，则F3的大小为______．
14.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acsB=bcs∠BAC，M是BC的中点，若AM=4，则b+ 2c的最大值为______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)．
(1)若|b|=2 5，且a/​/b，求b的坐标；
(2)若|c|= 10，且2a+c与4a−3c垂直，求a与c的夹角θ．
16.(本小题12分)
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且csB=45，b=2．
(1)当A=π6时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a+c的值．
17.(本小题12分)
如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点．
(1)若cs∠CAB=13，当k为何值时，AC+2AB与kAC−AB垂直？
(2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB，AQ=μAC，求λ+μ+23最小值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．
(1)已知sinA=cs2B−cs2CsinA−sinB，c=3，a+b=3 2．
①求∠C；
②若∠ACB的平分线交AB于点D，求线段CD的长；
(2)若△ABC是锐角三角形，∠C为(1)中所求，H为△ABC的垂心，且CH=3，求 3CH−AHBH的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由a=(2,0),b=(1,1)，则a−b=(2,0)−(1,1)=(1,−1)．
所以(a−b)⋅b=1×(−1)+1×1=0．
则(a−b)⊥b．
故选C．
由给出的两个向量的坐标，求出a−b的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量的数乘和数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
根据条件可得出a+b=−c，两边平方进行数量积的运算即可求出a⋅b的值．
【解答】
解：∵a+b+c=0，
∴a+b=−c，且|a|=|b|=|c|=1，
∴(a+b)2=c2，即1+2a⋅b+1=1，
∴a⋅b=−12．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：∵sinA−2sinC=0，
∴由正弦定理可得：c=12a，
∵B=π3，b=6，
∴由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得：62=a2+(12a)2−2a⋅a2⋅12，
整理可得：a=4 3，或−4 3(舍去)．
故选：C．
由已知及正弦定理可得：c=12a，进而利用余弦定理即可求得a的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵AE=13AB，线段AC，BD交于点O，
∴EO=EA+AO=−13AB+12AC=−13AB+12(AB+AD)=16AB+12AD．
故选：D．
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由已知|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=1，
因为|a|=|b|=1，所以a⋅b=−12，
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−12b．
故选：B．
先将|a+b|=1两边平方得到向量的数量积，再根据a在b方向上的投影向量公式得出结果．
本题考查了平面向量的投影向量公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：△ABC中，∠BAC=120°，c=2，b=1，由余弦定理可得a= b2+c2−2bccsA= 12+22−2×1×2×(−12)= 7，
由正弦定理可得csinC=asinA=bsinB，即2sinC= 7 32=1sinB，
可得sinC= 3 7，sinB= 32 7，所以csB= 1−sin2B=52 7，
所以BD=ABcsB=252 7=4 75，所以CD=BC−BD= 7−4 75= 75，
所以S△ACD=12×CD×AC×sinC=12× 75×1× 3 7= 310．
故选：D．
由题意及余弦定理可得a边的大小，再由正弦定理可得sinB，sinC的值，再求出csB的值，在△ABD中，由直角三角形的性质可得BD的大小，进而解得CD的值，再由三角形的面积公式，可得△ACD的面积．
本题考查正弦定理及直角三角形的性质的应用，三角形的面积公式的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为c−acsB=(2a−b)csA，
则由正弦定理可得：sinC−sinAcsB=(2sinA−sinB)csA，
即sin(A+B)−sinAcsB=2sinAcsA−sinBcsA，
即sinBcsA=sinAcsA，
所以csA=0或sinB=sinA，A，B，C∈(0,π)，
则A=π2或A=B，
所以三角形ABC为直角三角形或等腰三角形，
故选：D．
利用正弦定理化简已知关系式，再根据角A，B，C的范围即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，涉及到求解三角形形状的问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将(PA+PB)⋅PC化为−2|PO|⋅|PC|，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键．
根据O为AB的中点，我们易得(PA+PB)⋅PC=−2|PO|⋅|PC|，又由OPC三点共线，故|PO|+|PC|=|OC|=2为定值，根据基本不等式，我们易得(PA+PB)⋅PC的最小值．
【解答】
解：因为O为AB的中点，
所以PA+PB=2PO，
从而则(PA+PB)⋅PC=2PO⋅PC=−2|PO|⋅|PC|；
又|PO|+|PC|=|OC|=2为定值，
所以当且仅当|PO|=|PC|=1，
即P为OC的中点时，
(PA+PB)⋅PC取得最小值是−2，
故选：D．
9.【答案】AB
【解析】解：在△ABC中，a=4，A=30°，
由正弦定理可得asinA=bsinB，即4sin30∘=bsinB，所以b=8sinB，
因为0