重庆市松树桥中学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市松树桥中学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考 数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 在实数，0，，中，属于无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可．
【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不同象限中点的符号特征：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：；逐一进行判断即可．
【详解】A. 在第二象限，符合题意；
B. 在轴的负半轴上，不符合题意；
C. 在轴的正半轴上，不符合题意；
D. 在第四象限，不符合题意；
故选择；A
【点睛】本题考查不同象限中点的符号特征．熟练掌握不同象限中点的坐标的符号特征是解题的关键．
3. （跨语文学科）四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移，平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，据此解答即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：原图形平移后，水平的两根火柴的火柴头应在左边，竖直的两根火柴的火柴头应一上一下，只有符合，
故选：．
4. 如图，直线，相交于点，，平分，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据垂直的定义求出的度数，根据已知条件的度数可得，由平角定义及角平分线定义求得的度数．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、邻补角的性质；熟练掌握垂线的定义和邻补角的性质是解决问题的关键．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，垂直和平行三种
B. 若，，则
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平面内直线的位置关系、平行线的判定与性质等相关知识，解题的关键是准确掌握这些概念和定理并对每个选项进行分析判断．
依次对每个选项依据相应的数学概念和定理进行分析，判断其真假性．
【详解】A、在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，垂直是相交的一种特殊情况，并非独立的一种位置关系，所以该选项错误；
B、若，当a，b，c在同一平面内时，；但如果不在同一平面内，与不一定平行，该选项缺少“在同一平面内”这个条件，所以该选项错误；
C、必须是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，如果这个点在已知直线上，是无法作出与已知直线平行的直线的，所以该选项错误；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．那么一对内错角的角平分线所分得的小角也相等，根据内错角相等，两直线平行，可知这两条角平分线互相平行，所以该选项正确．
故选：D.
6. 如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题．
【详解】解：硬币的直径为1个单位长度，
硬币的周长为，
点A为2，
点对应的实数是，
故选：B．
7. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．
根据A，B两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可．
【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为，
∴B点向右移动3位即为原点的位置，
∴点的坐标为，
故选：A．
8. 如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ）
A. ③B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等等知识点，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决此题的关键．由平行线的判定进行判断即可．
【详解】解：，
，不符合题意；
，
，
，
，符合题意；
，
，符合题意；
，
，不符合题意；
故选：．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2025次运动后，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点在坐标系中的变化规律，分析图形是解题关键，由点的坐标变化得，坐标变化满足每5次一循环，探究出纵坐标为，然后再探究其横坐标的变化规律即可．
【详解】解：由图得，点的坐标变化规律是先沿边长为2的等边三角形的边运动，再沿边长为2的正方形的边运动，点的位置变化满足运动5次一循环，
即点的次运动与第5次运动的位置相同，
第5次坐标，
第10次坐标，
第15次坐标，
，
第次坐标，
第次坐标为即，
故选：．
10. 如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则的度数用含x的式子一定可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点作，利用平行线性质得到，过点作，利用平行线性质得到进行求解，即可解题．
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，即
过点作，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 若一个数的平方根为，则这个数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，熟练掌握此定义是解题的关键．直接利用平方根的定义求解即可．
【详解】解：一个数的平方根是，
这个数是，
故答案为：．
12. 已知点在x轴上，________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点在坐标轴上的特点，解题的关键熟练掌握坐标与图形的性质．
利用点在轴上的纵坐标为0，即可求解；
【详解】解：∵点在轴上，
，
，
故答案为：．
13. 如图，如果，，的内错角等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了内错角的定义，邻补角的和等于，熟记定义并准确识图是解题的关键．根据邻补角的和等于和内错角计算即可得解．
【详解】 解：如图，
∵，
∴，
∴ 的内错角，
故答案为：．
14. 把命题“互为相反数的两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是____________________．
【答案】如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等
【解析】
【分析】本题考查了把命题改写为“如果……，那么……”的性质，分清楚命题中的条件结论是解题的关键．前面作为条件，后面作为结论进行改写即可．
【详解】解：把命题“互为相反数两个数，它们的绝对值相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等”，
故答案为：如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等．
15. 已知点，点B到y轴的距离为3，若线段与x轴平行，点B的坐标为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
根据线段与x轴平行，得到，再结合点B到y轴的距离为3得到点B的横坐标，即可解题．
【详解】解：点，线段与x轴平行，
，
点B到y轴的距离为3，
点B的横坐标为3或，
点B的坐标为或，
故答案为：或．
16. 如图，南湖公园有一块长为、宽为的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，小路（非阴影部分）宽为，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，求所走的路线（图中虚线）长______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．结合图形，利用平移的性质求解即可．
【详解】解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：（米）．
故答案为：108．
17. 如图，在中，，，D、E分别在、上，将三角形沿折叠得到三角形，且满足，则________°．
【答案】76
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据邻补角的定义可得，根据折叠的性质可得，最后由得到
．
详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，
根据折叠的性质可知，
，
，
．
故答案为：．
18. 一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在n的后面组成第一个四位数，把n放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以81所得的商记为，例如：时，，．则______；若s、t为“异数”，其中，（，、，且，，，为整数）．规定：，若能被7整除，且是一个整数的平方，则的最小值为_______
【答案】 ①. ②. ##0.8
【解析】
【分析】由新定义及可求；由新定义得，，由 能被7整除，，且，为整数，可求出，的值，从而可求出，由是一个整数的平方，、，且，为整数，可求出，的值，从而可求出，代入求值，即可求解．
【详解】解：由题意得
时，，
；
，
，
能被7整除，
，且，为整数，
，
，，或，，
或，
同理可求：，
是一个整数的平方，
，
、，且，为整数，
，，
或，，
或，
①当，时，
；
②当，时，
；
③当，时，
；
④当，时，
；
，
的最小值为．
故答案：，．
【点睛】本题考查了新定义运算，整式加减，理解新定义，根据取值不同进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题（19题8分，20-26题各10分，共78分）
19. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了求算术平方根、绝对值运算以及求立方根．解题的关键是掌握实数的混合运算法则以及求立方根的方法．
（1）分别对算术平方根、绝对值进行化简，再进行计算即可；
（2）通过移项，求立方根即可．
【详解】解：（1）
（2）
．
20. 如图，已知三角形三个顶点的坐标分别为、、．
（1）画出三角形向下平移3个单位，再向左移动2个单位后得到的三角形；
（2）求三角形的面积；
（3）在y轴上求作一点P，使得P、C两点距离最小；
则点P的坐标为________
你的理论依据是：_______________
【答案】（1）见解析 （2）
（3），垂线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，垂线段最短，熟知点的平移规律是解题的关键．
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可；
（2）利用割补法求解；
（3）根据点到直线的距离，垂线段最短可知当轴时最小，据此求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，三角形即为所求；
【小问2详解】
解：由题意得，；
【小问3详解】
解：如图所示，过点C作轴于P，则点即为所求，依据为垂线段最短．
21. 请在横线上和括号内完成证明过程和填写推理依据．
如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．
解：，理由如下：
∵，________（________________）
∴________（同角的补角相等）
∴________（_____________）
∴________（_________）
∵
∴________（__________）
∴
∴（__________）
【答案】；平角定义；；；同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，等量代换；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键，先根据平角的定义和等量代换证明，则，由此推出，即可证明即可得到．
【详解】解：，理由如下：
，(平角的定义)，
（同角的补角相等），
(同位角相等，两直线平行)，
（两直线平行，内错角相等），
，
(等量代换)，
，
(两直线平行，同位角相等)，
故答案为：；平角的定义；；；同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，等量代换；两直线平行，同位角相等．
22. 小梦制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
【答案】（1）长方形信封的长为，宽为
（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键．
（1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可；
（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．
【小问1详解】
解：设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴，负值舍去
答：长方形信封长为，宽为；
【小问2详解】
解：小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封
由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是16cm，
∴信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
23. 如下图，点D，H分别在上，点E，F都在上，交于点，平分，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据已知得出，，进而根据平行线的性质得出．
【小问1详解】
证明：，
．
．
平分，
．
．
，
，即．
．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
24. 【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
（1）图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______．
（2）在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
（3）若a是的小数部分，b是的小数部分，求的平方根．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）的平方根为
【解析】
【分析】本题考查了开平方运算，无理数的估算，求一个数的平方根，解题的关键在于理解算术平方根的几何意义．
（1）利用割补法求出正方形的面积，再利用开平方运算求解，即可解题；
（2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可；
（3）估算出的取值范围，进而表示出a、b，再求出的值，即可得到的平方根．
【小问1详解】
解：正方形的面积为，
格点正方形的边，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图所示，正方形即为所作：
正方形的面积为，
格点正方形的边长为；
【小问3详解】
解：，
，
a是的小数部分，
，
b是的小数部分，
又，
，
，
，
的平方根为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，．
（1）直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______；
（2）当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标；
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查的是平移变换的性质，非负数的性质，掌握算术平方根和绝对值的非负性，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求出a，b，得到点的坐标，根据平移的性质求出点B的坐标；
（2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
【小问1详解】
解：
解得，，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，
，，
∴点的坐标为，
故答案为：；；
【小问2详解】
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的4倍，即
①当点在线段上时，
则
解得，，
∴点的坐标为；
②当点在线段延长线上时，
则
解得，，
∴点的坐标为；
综上所述，点坐标为或．
26. 亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，．
（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数；
（2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）或或或或
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）过点作，则，进而得，，由此可得的度数；
（2）过点作，则，进而得，，再根据可得出答案；
（3）依题意由以下5种情况：①当时，则，再根据可得出答案；②当时，则，再根据可得出答案；③当时，则；④当时，则，再根据可得出答案；⑤当时，设于交于点，则，进而得，然后根据可得出答案，综上所述即可得出角度所有可能的值．
【小问1详解】
解：过点作，如图2所示
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
，
【小问2详解】
解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
【小问3详解】
解：角度所有可能的值是或或或或，理由如下：
依题意由以下5种情况：
①当时，如图4①所示：
则，
；
②当时，如图4②所示：
则，
；
③当时，如图4③所示：
则；
④当时，如图4④所示：
则，
∴，
；
⑤当时，设于交于点，如图4⑤所示：
则，
，
．
综上所述：角度所有可能的值是或或或或．