四川省德阳市2023_2024学年高一数学下学期入学考试试卷含解析

这是一份四川省德阳市2023_2024学年高一数学下学期入学考试试卷含解析，共17页。试卷主要包含了 已知，，，则， 命题p， 已知函数，其中等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的基本运算计算即可.
【详解】由，
所以.
故选：B.
2. 命题p：，，则是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】原命题是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，
注意到是否定结论，不否定条件，所以D选项正确.
故选：D
3. “关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解.
【详解】当时，则有，解得，不合题意；
当时，则，解得.
综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为，
所以一个必要不充分条件是.
故选：A.
4. 设，，，则a，b，c之间的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过三个数与，的关系即可解出.
【详解】由题意，，，，
∴.
故选：D.
5. 函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，，D. ，，，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
6. 用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（）
A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
【答案】C
【解析】
【分析】由二分法的定义直接求解即可.
【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，
故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.
故选：C
7. 北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：)和燃料的质量(单位：)、火箭的质量(除燃料外)(单位：)的函数关系是．当火箭的最大速度达到时，则燃料质量与火箭质量之比约为（）(参考数据：)
A. 314B. 313C. 312D. 311
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将代入即可得解.
【详解】由题意将代入，可得，，.
故选：B.
8. 已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，函数的增区间为，且，
解得.
由题意可知：.
于是，解得.
又，于是.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，当时，，进而得到函数单调性，A错误；BD选项，求出，进而得到函数的单调性，利用求出最小正周期；C选项，根据的周期和单调性得到C正确.
【详解】A选项，当时，，
由于在上单调递减，
故在上单调递减，不合要求，A错误；
B选项，当时，，
由于在上单调递增，故在上单调递增，
又，故以为最小正周期，B正确；
C选项，以为最小正周期，且在区间上单调递增，C正确；
D选项，当时，，
由于在上不单调，故在上不单调，D错误.
故选：BC
10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（）
A. 函数的最大值为
B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 已知定义在R上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
【答案】AB
【解析】
【分析】由复合函数的单调性可求的最大值、在上减函数时a的范围，结合指对数函数图象的关系、奇函数的性质可判断C、D的正误；
【详解】1、函数中，若令，即有，故A错误；
2、函数（且）在上是减函数，知：，即有，故B错误；
3、函数与互为反函数，图象关于直线对称，故C正确；
4、定义在R上的奇函数在内有1010个零点，由函数的对称性可知在内有1010个零点，即函数的零点个数为2021，故D正确；
故选：AB
【点睛】本题考查了指对数函数的性质，利用函数的单调性、奇偶性、对称性以及反函数知识判断正误；
11. 下列说法错误的是（）
A. 若，则是第一象限角或第二象限角
B. 若，是锐角的内角，则
C. 函数是偶函数
D. 函数是增函数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求解A，根据正弦的单调性即可判断B，根据诱导公式化简即可判断C，根据正切函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，由可得是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，所以A错误，
对于B，由于，是锐角的内角，所以，故，
因此，故B正确，
对于C，为偶函数，C正确，
对于D，在是增函数,故D错误，
故选：AD
12. 已知，，则下列选项中正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】结合同角三角关系将平方即可求解即可判断A，再利用平方关系求解判断B，化切为弦通分即可求解判断C，解方程即可求解判断D.
【详解】由，得，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以，故选项D错误；
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解.
【详解】由可知，，
所以扇形面积，
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，线段绕点顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出以为终边的角的大小，然后顺时针旋转，判断以为终边的角的大小即可得出答案.
【详解】因为，所以点在单位圆上，
且点在角的终边所在的直线上，
则点的初始位置坐标，
线段绕点顺时针转动后，点在角的终边所在的直线上，
所以点所在位置的坐标为．
故答案为：．
15. 若方程在有解，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将原式化为，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由转化为，即，
因为，则，则，
所以，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】，
若，不妨设，
则，
所以，即，
所以，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知合，或．
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交集运算，结合数轴法可得结果；
（2）利用集合与充要条件的关系得到是的真子集，结合数轴法即可求得m的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以或或，
又因为，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
又因为，或，
所以或，故或，
故实数m的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）求证：；
（2）若且为第二象限角，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式对进行化简即可得证；
（2）利用平方关系与商数关系结合所在象限进行运算求解即可．
【小问1详解】
证明：，得证；
【小问2详解】
因为且为第二象限角，
所以，所以，
所以．
19. 已知函数.
(1)求函数的最大值，并求出使函数取得最大值的的集合;
(2)求函数在上的单调递减区间.
【答案】(1)最大值为，的集合是;(2)和
【解析】
【分析】（1）根据，即可求出结果；
（2）先由求出函数的减区间，再和求交集，即可得出结果.
【详解】(1)令，解得，
∴当时，的最大值为.
∴函数的最大值为，且使函数取得最大值的的集合是.
(2)令，
可解得.
记，.
∴或 .
∴函数在上的单调递减区间为和.
【点睛】本题主要考查求三角函数的最值，以及三角函数的单调区间，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
20. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，）
【答案】（1）
（2）小时
【解析】
【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式；
（2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论.
【小问1详解】
解：当时，设，将代入得，解得，此时，；
当时，设（且），将、代入得，
解得，此时，.
综上：.
【小问2详解】
解：因为函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令，得，
则，即，
所以，.
所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室.
21. 已知函数．
（1）用定义证明在定义域上是减函数；
（2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求函数的定义域，再根据减函数的定义证明即可；
（2）由（1）知，函数在定义域为上的减函数，从而为减函数，故只需满足，解不等式组即可求得a的取值范围．
【小问1详解】
证明：根据题意，函数，
则有，解可得，即函数的定义域为，
设，则
，
，
因为，所以，
，
所以，
故，即
则函数在定义域上减函数；
【小问2详解】
根据题意，由（1）的结论，函数在定义域为上的减函数，
则为减函数，
若函数在上有零点，
则，
解可得：，
故a的取值范围为．
22已知函数．
（1）当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为和；值域是
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对勾函数性质结合奇偶性判断单调区间，利用基本不等式求值域；
（2）求出的值域并将题目转化为函数的值域是的值域的子集，分情况讨论t的范围，求的最值列不等式求解.
【小问1详解】
当时，,
易知，且定义域关于原点对称，故为奇函数；
结合对勾函数的性质可得：的单调递增区间为和，递减区间为和．
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立．
所以的值域是；
【小问2详解】
，
因为，所以，所以，，
所以，那么的值域为．
当时，总有，使得，
转化为函数的值域是的值域的子集，
即当时，恒成立．
当时，在上单调递增，可得，，所以；
当时，，满足题意；
当时，对任意，，显然，
所以，对任意的恒成立，可得．
当时，，，此时．
综上可得，实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集．