四川省自贡市2024_2025学年高一数学下学期入学考试试题含解析

这是一份四川省自贡市2024_2025学年高一数学下学期入学考试试题含解析，共15页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟；
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知全集 ，集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知， ，所以 .
故选：A.
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若 ， ，则 或 ，
反之，若 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】 则 ．故选 B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化
与化归思想解题．
4. 为得到函数 的图像，只需把余弦曲线上的所有的点（ ）
A. 横坐标伸长到原来 倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图像变换规律确定选项.
【详解】因为 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变,得到
故选: .
5. 下列关于函数 , 的单调性的叙述,正确的是
A. 在 上单调递增,在 上单调递减
B. 在 上单调递增,在 上单调递减
C. 在 及 上单调递增,在 上单调递减
D. 在 上单调递增,在 上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的单调区间逐一判断选项即可.
【详解】函数 在 上的单调增区间是 ， ，单调减区间是 ，
故选：C.
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【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题.
6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
在数学 学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．
我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象知函数的定义域排除选项 A、D，再根据 不成立排除选项 C，即可得正确选项.
【详解】因为函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
函数 与 的定义域均为 .
由图知 的定义域为 ，排除选项 A、D，
对于 ，当 时， ，不符合图象 ，所以排除选项 C.
故选：B.
7. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用最小正周期为 排除选项 AC；利用在区间 上单调递减排除选项 D；选项 B 以 为最
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小正周期，且在区间 上单调递减，判断正确.
【详解】选项 A： 最小正周期为 .判断错误；
选项 B： 最小正周期为 ，且在区间 上单调递减.判断正确；
选项 C： 最小正周期为 .判断错误；
选项 D： 在区间 上单调递增. 判断错误.
故选：B
8. 生物学上，J 型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为 ，其中
为初始个体数， 为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由 100 增长至 120 消耗了 10 天，则个体
数由 120 增长至 160 消耗的时间大约为（ ）（参考数据： ， ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】将已知数据代入函数模型，利用对数的运算性质求出即可.
【详解】由题意可得， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当 ， 时， ，
即 ，所以 ，
由给定数据
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故选：B
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 函数 ， 的图像与直线 （ 为常数）的交点可能有（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】ABC
【解析】
【分析】画出 在 的图像，即可根据图像得出.
【详解】画出 在 的图像如下：
则可得当 或 时， 与 的交点个数为 0；
当 或 时， 与 的交点个数为 1；
当 时， 与 的交点个数为 2.
故选：ABC.
10. 已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式的性质可判断 ABD，作差可判断 C.
【详解】对于 A：因为 ，所以 ，故 A 正确；
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对于 B：因为 ，所以 ，故 B 错误；
对于 C： ，
因为 ，所以 ， 不确定，
所以 符号不确定，故 C 错误；
对于 D：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故 D 正确.
故选：AD.
11. 已知函数 的定义域为 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 时，
C. D. 在 上有 677 个零点
【答案】AB
【解析】
【分析】根据对数的运算即可判断 A；分别求出 ，进而 ，即可判断 B；
利 用 函 数 的 周 期 计 算 即 可 判 断 C； 由 可 得
，即可判断 D.
【详解】对于 A， ，故 A 正确；
对于 B，当 时， ，即 ，
则 ，于是 ，
因此 ，故 B 正确；
对于 C， ，
，
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，故 C 错误；
对于 D，当 时， ，此时函数无零点，
而 ，由 知， ， ，
即有 ，显然 ，
因此 在 上有 675 个零点，故 D 错误.
故选：AB
【 点 睛 】 关 键 点 点 睛 ： 解 决 本 题 的 关 键 是 由 可 得
， 以 及 由 推 出
.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在题中横线上）
12. 当 时， 的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为 ,
则 ，
当 时， 的最小值为 5.
故答案为：5.
13. 已知 ，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，利用倍角公式，进行化简，即可求解.
【详解】因为 ，则 .
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故答案为： .
14. 下列命题中：
（1） 与 互为反函数，其图像关于 对称；
（2）已知扇形的周长为 2，扇形的圆心角为 2，则扇形的面积是 ；
（3）已知角 的终边经过点 ，则 ；
（4）被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮．假设“天津之眼”旋转
一周需 30 分钟，且是匀速转动的，则经过 5 分钟，转过的角的弧度为 ．
上述命题中的所有正确命题的序号是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反函数性质,扇形弧长及面积公式,三角函数的定义等逐项判断即可.
【详解】对于 :根据反函数性质可知 与 互为反函数，其图像关于 对称,故 正确;
对于 :扇形的周长为 ,又因为扇形的圆心角 ,所以 , ,
则扇形的面积 ,故 错误;
对于 :根据三角函数的定义, 角 的终边经过点 ,则 ,故 错误;
对于 :“天津之眼”旋转一周需 30 分钟，且是匀速转动的，则经过 5 分钟，
转过的角度是一周的 ,则转过的角的弧度为 ,故 正确;
故答案为: .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15. 集合 .
（1）若 ，求
（2）若 是 的充分条件，求 的取值范围.
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【答案】（1） 或 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合 A，根据集合补集以及并集运算，即可求得答案；
（2）根据 是 的充分条件，可得 ，列出相应不等式，即可求得答案.
【小问 1 详解】
由 ，解得 ，则 ，
时， ，
故 或 ， ；
【小问 2 详解】
因为 ， ，
而 是 的充分条件，故 ，
故 ，解得 .
16. （1）化简： ；
（2）已知 ， 是第四象限角，求 ， ， 的值．
【答案】（1） ；（2） ， ，
【解析】
【分析】（1）应用诱导公式计算化简求值；
（2）先应用同角三角函数关系求出余弦值及正切值，再结合两角和差公式计算求解.
【详解】（1）
（2）由 ， 是第四象限角，得 ，
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所以 ．
于是有 ；
17. 已知函数 ，
（1）用五点法在平面直角坐标系中画出 在 上的图像；
（2）求函数 的值域；
（3）求不等式 的解集．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用五点作图法即可画出 在 上的图像.
（2）根据 ，即可求得结果.
（3）先求出不等式在一个周期内的解集，进而求出整个实数域上的解集.
【小问 1 详解】
由函数 ，可得完成表格如下：
0
1 0 0 1
可得 在 的大致图象：如下图
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【小问 2 详解】
由 ，可得 得值域为 ．
【小问 3 详解】
由 ，可得 ，即 ，当 时，由 ，得
．
又由函数 的最小正周期为 ，
所以原不等式的解集为 ．
18. 已知函数 ，其中 且 ．
（1）求 的定义域；
（2）判断 的奇偶性，并给予证明；
（3）求使 的 取值范围．
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）当 时， 的取值范围是 ．
当 时， 的取值范围是 ．
【解析】
【分析】（1）根据对数的定义知真数大于 0，即可求定义域；
（2）利用奇偶性的定义得 知函数为奇函数；
（3）由 可得 ，即可求解.
【小问 1 详解】
，
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，即 ，
解得 ，
故 的定义域为 ．
【小问 2 详解】
的定义域关于原点对称，
，
故函数 是奇函数．
【小问 3 详解】
当 时，由 可得 ，解得 ，
故求使 的 的取值范围是 ．
当 时，由 可得 ，即 ，解得 ，
故求使 的取值范围是 ．
综上所述，当 时， 的取值范围是 ；当 时， 的取值范围是 ．
19. 已知函数 是偶函数.
（1）求 的值;
（2）设 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得
，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解 的值；
（2）由题意可得 在 上的最小值不小于 在 上的最小值，分别求出 和 的最
小值，即可求解.
【小问 1 详解】
因为 是偶函数，
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所以 ，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
所以 ，即 .
【小问 2 详解】
，
因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 在 上的最小值不小于 在 上的最小值，
因为 在 上单调递增，
所以 ，
因 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
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