广东省汕尾市2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

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这是一份广东省汕尾市2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析），文件包含广东省汕尾市2025届高三普通高中毕业班综合测试一数学试题原卷版docx、广东省汕尾市2025届高三普通高中毕业班综合测试一数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页，欢迎下载使用。
本试题共 4 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正
带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，则（）
A. 2 B. C. 4 D.
3. 已知向量，则（）
A. B. C. D.
4. 小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸
表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（）
A. B. C. D.
5. 已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（）
A. 数列为等差数列 B.
C. 数列存在最大值 D. 数列存在最大值
6. 已知是锐角，，则（）
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A. B. C. D.
7. 已知直线是双曲线一条渐近线，是坐标原点，是的焦
点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（）
A. B.
C. D.
8. 已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为 2，则该三棱锥的外接球的体积为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列函数中是奇函数且是周期函数的是（）
A. B.
C. D.
10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，
则下列说法正确的是（）
A. 若，则平面
B. 若，则点的轨迹长度为
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C. 若，则存在，使
D. 若，则存在，使平面
11. 已知函数有两个极值点，则（）
A. 或
B.
C. 存在实数，使得
D
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在的展开式中，所有项的系数和为__________.
13. 已知函数，则的最小值是__________.
14. 直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直
线的斜率是直线斜率的 2 倍时， __________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
记的内角所对的边分别是，已知__________.
（1）求 .
（2）设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求
的面积.
16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面
.
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（1）证明：平面 .
（2）若为的中点，求到平面的距离.
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为
.设为上并且位于第一象限的两点，满足 .
（1）若交轴于，且，求椭圆离心率.
（2）在（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：
.
18. 购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只
有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，
且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种.
（1）若种款式的盲盒各有一个.
（i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率.
（ii）设小刘抽到特别喜欢款式所需次数为，求的数学期望 .
（2）若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，
引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为
小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）.
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19. 把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为 .例如：函数列可以记为
.记为的导函数.
（1）若 .证明：为等差数列.
（2）已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有 .
（i）设，证明：的充要条件是 .
（ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明： .
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