广东省汕尾市2025届高三下学期一模数学试题 含解析

这是一份广东省汕尾市2025届高三下学期一模数学试题 含解析，共20页。试卷主要包含了 已知 是锐角， ，则等内容，欢迎下载使用。
本试题共 4 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正
带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得集合 ，利用交集的意义可求解.
【详解】 ，
，
则 .
故选：D.
2. 已知 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法法则求得复数 ，可求得 .
【详解】因为 ，
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所以 ，则 .
故选：C.
3. 已知向量 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量 的坐标，利用向量共线的条件的坐标表示得到方程，求
解可得.
【详解】因 ， ，故 ，
又 ，故 得
故选：A.
4. 小王数学期末考试考了 分，受到爸爸表扬的概率为 ，受到妈妈表扬的概率也为 ，假设小王受爸爸
表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得
解.
【详解】记小王受到爸爸表扬为事件 ，小王受到妈妈表扬为事件 ，小王受到表扬为事件 ，
小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则 .
故选：C.
5. 已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 数列 为等差数列 B.
C. 数列 存在最大值 D. 数列 存在最大值
【答案】D
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【解析】
【分析】利用 ，可求通项公式判断 AB；由 可知单调性判断 CD.
【详解】由 可知，当 时， ，
因为 ，所以 ，
故数列 是从第二项开始的等差数列，故 A 错误.
将 的通项公式可得 ，故 B 错误.
由 知，数列 为递增数列， 不存在最大值，故 C 错误.
由 知，数列 为递减数列，故存在最大值，故 D 正确.
故选：D.
6. 已知 是锐角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 联立 可得.
【详解】由 得 ，
由 得 ，
化简得 ，得
故选：B.
7. 已知直线 是双曲线 的一条渐近线， 是坐标原点， 是 的焦
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点，过点 作 垂直于直线 交 于点 的面积是 ，则 的方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，求解可得双曲线方程.
【详解】由题意知 ，解得 ，则双曲线方程为 .
故选：B.
8. 已知正三棱锥的底面是边长为 的正三角形，高为 2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过球心在三棱锥内、外两种情况，结合勾股定理求得半径即可求解.
【详解】如图，
若球心 在三棱锥 内，设 为底面 的外接圆的圆心.
球 的半径为 ，则 .
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因 ，所以 ，解得 .
.
若球心 在三棱锥 外，则 ，
同理由 解得 ，此时 ，不符合题意.
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列函数中是奇函数且是周期函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义和周期函数的定义即可判断.
【详解】若 ，定义域为 ，
则 是奇函数，
是周期函数，故 A 正确；
若 ，则 ，故 不是奇函数，故 B 错误；
若 ，定义域为 ，
则 ，
故 不是奇函数，故 C 错误；
若 ，定义域为 ，
则 是奇函数，
是周期函数，故 D 正确.
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故选：AD.
10. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 满足 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 平面
B. 若 ，则点 的轨迹长度为
C. 若 ，则存在 ，使
D. 若 ，则存在 ，使 平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 选项，统一变量，结合向量的线性运算关系判断动点的位置可得出结果；C 选项可做反解
验证，以垂直为条件运算；D 选项为探究，可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别.
【详解】
对于 A，若 ，则 ，则点 在线段 上，如上图.
因平面 平面 ,且平面 平面 ,平面 平面
,
故 因 平面 ， 平面 ,故 平面 ，同理可证 平面
，
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因 平面 ， 平面 ,且 ,故有平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故 A 正确；
对于 B，若 ，则 （ 为 的中点）如上图.
又因为 ，所以 .故点 的轨迹长度为 ，故 B 正确；
对于 C，若 ，则 ，所以
，所以点 在线段 上（如上图）.假设 ，则 ，
即 ，化简得 ，
该方程无解，所以 不存在，故 C 错误；
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对于 D，如上图，设 为 的中点，
当 时，则 ，即 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ,
.
所以 .
假设 平面 ，则
即 解得 .故 D 正确.
故选: .
11. 已知函数 有两个极值点 ，则（ ）
A. 或
B.
C. 存在实数 ，使得
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】A，B 选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转
化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解；
C 选项，解法 1：先利用整体代入法，消 ，再利用单调性证明；解法 2：利用 为极小值点，通过
证明；
D 选项，利用 消元，转化为 ，利用单调性证明；
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【详解】易知 ，
令 ，则 .
令 ，则 .设 ，
由对勾函数的图象可知：
当 时， 与 的图象有两个交点，
因为 ，故 不成立，故 A 错误；
设 ，则 ①，
设 为①式的两根，则 ，即 ②，
③.
由③式可知 ，所以 ，则 ，
故 B 正确；
解法 1：由②式可知 ，
令 ，
则 ，
则 在 上单调递减，所以 ，
故 ，所以不存 实数 使得 ，故 C 错误；
解法 2： ， ， ，
可得 为 区间的极小值点，则必有 ，故 C 错误；
由③式可知 ，所以 ，
要证
，
仅需证明 成立.
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令 ，则 .
则 在 上单调递增，所以 ，
故 ，故 D 正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中，所有项的系数和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，可得所有项的系数和.
【详解】令 ，可得所有项的系数和为 .
故答案为： .
13. 已知函数 ，则 的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出函数 在各段上的最小值，再比较即可求出．
【详解】当 时， 单调递减，所以 .
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调增，
所以 .
综上所述， 的最小值是 .
故答案为： .
14. 直线 与椭圆 交于 两点 不是椭圆的顶点），设 ，当直
线 的斜率是直线 斜率的 2 倍时， __________.
【答案】
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【解析】
【分析】直曲联立，可得方程两根的和与积，点 坐标已知，表达 与 的斜率之积，可得定值，
要求参数 的范围，需要构建两根和与积之间的等量关系， 与 的斜率乘积代换即可实现.
【详解】设 ，由 可知 .
由 知， ，解得 .
，①
，②
.
又 ，
，即 ，化简得 ，
将①②代入上式可得 ，解得 或 ，满足 .
当 时，直线 经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
记 的内角 所对的边分别是 ，已知__________.
（1）求 .
（2）设 为 的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足 ，求
的面积.
【答案】（1）
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（2） .
【解析】
【分析】小问 1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；
若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解；
小问 2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦
定理求两边的乘积即可.
【小问 1 详解】
选择条件①： .
由正弦定理 得 ，
所以 .
由余弦定理，得 .
因为 ，所以 .
选择条件②：因为 ，所以 ，即 .
由正弦定理得 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
连接 ，
因为点 是内心，所以 .
因为 ，所以 ，
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所以 ，所以 .
由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
所以 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 平面 ，平面 平面
.
（1）证明： 平面 .
（2）若 为 的中点，求 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】(1)利用面面垂直的性质,在平面 中,作 ,证明 平面 ,再利用线面垂直证明；
(2) 求 到平面 的距离,首先需证明 平面 ,转化为点 到平面 的距离,再利用建系法
或者等体积法求解；
【小问 1 详解】
证明：如图,在平面 内作 ,交 于点 .
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,则 .
因为 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 .
【小问 2 详解】
解：如图，连接 交 于点 ,连接 .易知 为 的中位线,所以 .
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因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
所以 到平面 的距离,即为点 到平面 的距离.
由（1）知 平面 ,所以 .
因为 ,所以 .又因为 平面 ,所以 两两垂直.
因为 ,所以 .
法一（建系）：如图,以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 ,
所以 ,
.
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 .
则点 到平面 的距离 ,即 到平面 的距离为
法二（几何）：因为 平面 ,所以 ,因为 平面 ,所以 ,所以
是直角三角形.
所以 ,因为 是斜边 的中点,所以 .
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则 .
设点 到平面 的距离为 ,则 ,解得 ，即 到平
面 的距离为 .
17. 如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右、上、下顶点分别为
.设 为 上并且位于第一象限的两点，满足 .
（1）若 交 轴于 ，且 ，求椭圆 的离心率.
（2）在（1）的条件下， 为 的中点，直线 交 于点 （其中 在 轴上方）.证明：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先应用平行得出角的值，再结合 计算得出离心率；
（2）先设点 ，结合 得出 ，最后由点 在椭圆上计算得证.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 .
所以 ，则 ，
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则 ，解得 ，
则 .
【小问 2 详解】
由（1）知， .
设点 ，因 ，所以存在 ，使 ，则 .
因为 是 的中点，所以 .
又因为 三点共线，所以存在 ，使 .
令 ，则 ，
则由点 在椭圆上得 ，
整理得 ，
.
因为点 在椭圆上，所以 ，整理得 .
所以 .
【点睛】关键点点睛：证明的关键点是应用点在椭圆上得出 计算化简求值.
18. 购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只
有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出 种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，
且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢 种款式中的一种.
（1）若 种款式的盲盒各有一个.
（i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率.
（ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为 ，求 的数学期望 .
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（2）若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，
引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前 次未抽出指定款式，则第 次必定抽出指定款式.设 为
小刘抽到某指定款式所需的次数，求 的数学期望 （参考数据： ，结果保留整数）.
【答案】（1）（i） ；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知 的可能取值为 ，利用
古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解；
（2）根据条件，求出 的分布列，进而求出 ，再利用错位相减法，即可求解.
【小问 1 详解】
（i）设小刘第 次抽到特别喜欢的款式为事件 .
则小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率为 .
（也可以用 ）
（ii） 的可能取值为 ，
则 ，
所以 的分布列为
1 2 19 20
则 .
【小问 2 详解】
记 的可能取值为 .
因为前 9 次（包含第 9 次）没有保底，
则 ，其中 ，
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，
所以 的分布列为
1 2 9 10
则 .
记 ，
则 ，
两式相减，得 ，
所以 .
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，求得 后，利用错位相减法求解.
19. 把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为 .例如：函数列 可以记为
.记 为 的导函数.
（1）若 .证明： 为等差数列.
（2）已知定义在 上的函数列 满足 ，且对任意的 ，都有 .
（i）设 ，证明： 充要条件是 .
（ii）取定正数 ，使数列 是首项和公比均为 的等比数列，证明： .
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导得 ，利用等差数列的定义判断即可；
（2）令 ，求导可得 在 上单调递增，可得当 时， ，（i）再证
明充分性与必要性即可. （ii）由题意可得 ，只需证 ，构造函数 ，
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求导利用单调性可得 ，求解即可.
【小问 1 详解】
由题知 ，所以 ，
记 ，因为 ，
所以 为等差数列，即 是首项为 ，公差为 的等差数列.
【小问 2 详解】
令 ，则 .
所以 在 上单调递增，所以当 时， ，
则当 时， .
（i）充分性：当 时，由题知 显然成立.
必要性：若 ，则由 时， ，得 ，
则 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 的充要条件是 .
（ii）由题知 ，且 ，则 ，
两边取自然对数得 ，则需 .
考虑函数 ，
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
因为 在 上单调递减，所以 ，
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所以 ，
则 ，即 .
【点睛】关键点点睛：第二问 2 小问通过转化即证 ，从而转化为恒成立问题，构造函数，
求得最大值即可.
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