2024-2025学年湖北省崇阳县第一中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省崇阳县第一中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数fx=3f′1x−x2+lnx+12，则f′1=( )
A. 1B. 2C. 12D. −12
2.函数fx=13x3+12x2的单调递增区间是( )
A. −∞,−1,0,+∞B. −∞,−1∪0,+∞
C. −1,0D. −∞,0∪1,+∞
3.设等比数列an的前n项和为Sn，若a2=2，且a2，a3，a4−2成等差数列，则S4=( )
A. 7B. 12C. 15D. 31
4.已知函数y=fx的导函数的图象如图所示，则y=fx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知正项等比数列an满足a1a9=1256,a3=14，则a4=( )
A. 14B. 18C. 116D. 132
6.过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x−1相切的直线方程是( )
A. y=5x+1B. y=2x+1C. y=x+1D. y=−2x+1
7.函数fx=sinπ3x−2ax在R上不单调，则a的取值范围是( )
A. −12,12B. −12,12C. −π6,π6D. −π6,π6
8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. 3,+∞B. 2,+∞C. 1, 2D. 1, 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数在定义域上为增函数的有( )
A. f(x)=2x4B. f(x)=xex
C. f(x)=x−csxD. f(x)=ex−e−x−2x
10.已知等差数列an的前n项和为Snn∈N∗，公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是( )
A. a1=22B. d=−2
C. 当且仅当n=9时，Sn取得最大值D. 当Sn>0时，n的最大值为20
11.已知M,N是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，焦点为F，抛物线上一点P1,t到焦点F的距离为2，下列说法正确的是( )
A. p=2
B. 若直线MN的方程为y=2x−2，则MN=4
C. 若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为32(O为坐标原点)
D. 若MF=2FN,M在x轴上方，则直线MN的斜率为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知an是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8= ．
13.已知函数f(x)=kx3−3(k+1)x2−2k2+4，若f(x)的单调减区间为(0,4)，则实数k= ．
14.已知函数fx=x−alnx在区间1,2上存在单调递减区间，则a的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=alnxx+b在x=1处的切线方程为2x−y−2=0．
(1)求fx的解析式；
(2)求函数fx图象上的点到直线2x−y+3=0的距离的最小值．
16.(本小题15分)
已知数列an，其前n项和为Sn,a1=2,3Sn=(n+2)an．
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=1an+n，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数fx=alnx−2a+1x+x2．
(1)当a=−1时，求fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若a>0，试讨论fx的单调性．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB/​/CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=a，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P−AC−E的余弦值为 63，求a的值；
(3)在(2)的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点和上顶点分别为P，Q且PF1=3.直线l经过F1交C于A，B(A在x轴上方)两点，当l垂直于x轴时，直线OA的斜率是直线PQ斜率的 3倍.
(1)求C的方程；
(2)求▵PAB面积的最大值；
(3)若直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，问△MF1F2的外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由?
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.C
9.CD
10.BD
11.ACD
12.64
13.1
14.a>1
15.(1)∵函数fx=alnxx+b，
∴fx的定义域为0,+∞，f′x=a1−lnxx2，
∴fx在x=1处切线的斜率为k=f′1=a=2，
由切线方程可知切点为1,0，而切点也在函数fx图象上，解得b=0，
∴fx的解析式为fx=2lnxx；
(2)由于直线2x−y−2=0与直线2x−y+3=0平行，直线2x−y−2=0与函数fx=2lnxx在1,0处相切，
所以切点1,0到直线2x−y+3=0的距离最小，最小值为d=5 5= 5，
故函数fx图象上的点到直线2x−y+3=0的距离的最小值为 5．
16.(1)因为3Sn=(n+2)an，当n≥2时3Sn−1=(n+1)an−1，
所以3Sn−3Sn−1=(n+2)an−(n+1)an−1，
即3an=(n+2)an−(n+1)an−1，所以(n−1)an=(n+1)an−1，
即anan−1=n+1n−1，所以a2a1=31,a3a2=42,a4a3=53,a5a4=64,⋯⋯,anan−1=n+1n−1(n≥2)，
累乘可得ana1=n(n+1)1×2，又a1=2，所以an=n(n+1)，
当n=1时an=n(n+1)也成立，所以an=n(n+1)；
(2)由(1)可得bn=1an+n=1n(n+2)=121n−1n+2，
所以Tn=1211−13+1212−14+121315+1214−16+⋯+121n1n+2
=1211−13+12−14+13−15+1416+⋯+1n1n+2
=121+12−1n+1−1n+2=34−121n+1+1n+2
17.(1)当a=−1时，fx=−lnx+x+x2，
f′x=−1x+1+2x，
∴k=f′1=2，f1=2，所以切点为1,2，
∴切线方程y−2=2x−1即2x−y=0．
(2)fx的定义域为0,+∞，f′x=2x−1x−ax，
当0