湖北省崇阳县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省崇阳县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A. 7B. 12C. 15D. 31
4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正项等比数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A B.
C. 当且仅当时，取得最大值D. 当时，n的最大值为20
11. 已知是抛物线上的两点，焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若直线的方程为，则
C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为（为坐标原点）
D. 若在轴上方，则直线的斜率为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
13. 已知函数，若单调减区间为，则实数______．
14. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为________
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知函数在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.
16. 已知数列，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17. 已知函数．
（1）当时，求在点处切线方程；
（2）若，试讨论的单调性．
18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若二面角的余弦值为，求a的值；
（3）在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点和上顶点分别为P，Q且直线l经过交C于A，在x轴上方两点，当l垂直于x轴时，直线OA的斜率是直线PQ斜率的倍.
（1）求C的方程；
（2）求面积的最大值；
（3）若直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，问外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由?
崇阳二中高二下学期数学3月月考试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，代入即可求.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
故选：C
2. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的性质进行求解即可.
【详解】由题意得，
令，解得或，故其单调增区间为，
故选：A.
3. 设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A 7B. 12C. 15D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.
【详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）.
因为，所以，故.
故选：C
4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导函数图象确定和的区间，确定的递增和递减区间，得到答案.
【详解】由导函数图象可知，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
D正确，其他选项不合题意.
故选：D
5. 已知正项等比数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列下标和性质求解即可.
【详解】因为正项等比数列满足，所以，解得，
又，所以，
故选：B
6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
【详解】，点不在曲线上，
设切点为，则，
解得：，得切点，则
切线方程为：，
故选：．
7. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.
【详解】，
因为函数在上不单调，
所以函数有零点，
所以方程 有根，
所以函数与 有交点（且交点非最值点），
因为函数的值域为，
所以 .
故选：D
8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义以及已知条件列不等式，化简求得离心率的取值范围.
【详解】由题可得：，，
，
又，
所以，
又因为过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，
所以，
即，，
可得，
又，
所以双曲线离心率的取值范围是
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】通过求导可知选项A、B导函数分别为、，利用导数的性质可以分析其在整个定义域上不单调.然后根据选项C、D的导函数分别判断得出、，其在整个定义域上是单调的，故可选出答案.
【详解】A．函数定义域为，，当时，，当时，，所以在定义域为不是增函数，故A错误.
B．函数定义域为，，当时，，当时，，所以在定义域为不是增函数，故B错误.
C．函数定义域为，，所以在定义域为是增函数，故C正确.
D．函数定义域为，，当且仅当，即时，等号成立，所以在定义域为是增函数，故D正确.
故选：CD．
10. 已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 当且仅当时，取得最大值D. 当时，n的最大值为20
【答案】BD
【解析】
【分析】分别运用等差数列求和公式以及等比中项的性质，列方程可得首项和公差，可判断A，B；判断数列中小于0的项以及大于0的项，可判断C；由解不等式可判断D．
【详解】因为，故，又，
整理得到：，故，，故A错，B正确.
可得，当时，；当时，；当时，，故当、时，取得最大值，故C错误.
又，令，则，即n的最大值为20，故D正确.
故选：BD.
11. 已知是抛物线上的两点，焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，下列说法正确的是（ ）
A
B. 若直线的方程为，则
C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为（为坐标原点）
D. 若在轴上方，则直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 由抛物线上一点到焦点的距离为2，利用抛物线定义求解判断；B.由求得点M，N的坐标求解判断；C.根据的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，结合与抛物线的准线相切求解判断；D.设，得到，求倾斜角判断.
【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为2，
所以，解得，故A正确；
则抛物线方程为，
由，解得，则，故B错误；
因为的外接圆的圆心是各边的中垂线的交点，而线段OF的中垂线方程为，又与抛物线的准线相切，则外接圆的半径为，故C正确；
如图所示： ，
设，则，所以，
则，，故D正确；
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，，成等比数列以及列出关于的方程，解出，再根据计算答案即可
【详解】因为，，成等比数列
，即
解得 或（舍）
故答案为：
13. 已知函数，若的单调减区间为，则实数______．
【答案】1
【解析】
【分析】单调区间的端点值为导数的零点，即可求得；
【详解】函数，
则，
若单调减区间为，
则的解集为，
所以，则，检验符合，
故答案为：1.
14. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知函数在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；
（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.
【小问1详解】
∵函数，
∴的定义域为，，
∴在处切线的斜率为，
由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，
∴的解析式为；
【小问2详解】
由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，
所以切点到直线的距离最小，最小值为，
故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.
16. 已知数列，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可利用累乘法求解，
（2）利用裂项相消法求和即可得解.
【小问1详解】
因为，当时，
所以，
即，所以，
即，所以，
累乘可得，又，所以，
当时也成立，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
17. 已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若，试讨论的单调性．
【答案】（1）
（2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【解析】
【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解；
（2）由题意有，根据的范围分类讨论即可.
【小问1详解】
当时，，
，
，，所以切点为，
切线方程即．
【小问2详解】
的定义域为，，
当时，由可得或；由可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，恒成立，函数的单调递增区间为；
当时，由可得或；由可得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若二面角的余弦值为，求a的值；
（3）在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）由线线垂直证平面PBC，再证平面平面PBC；
（2）以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角余弦值，进而由二面角的余弦值建立方程，解得a的值；
（3）由向量法求得，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【小问1详解】
证明：由题意得，直角梯形ABCD中，，，由得.
底面ABCD，平面ABCD，∴.
∵平面PBC，∴平面PBC，
∵平面，∴平面平面PBC；
【小问2详解】
由（1）得，以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有，
设平面的法向量为，，，
则有，令有；
平面的其中一个法向量为.
故.
由二面角的余弦值为得，解得；
【小问3详解】
由（2）得，，
∴，
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点和上顶点分别为P，Q且直线l经过交C于A，在x轴上方两点，当l垂直于x轴时，直线OA的斜率是直线PQ斜率的倍.
（1）求C的方程；
（2）求面积的最大值；
（3）若直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，问的外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由?
【答案】（1）
（2）
（3）经过点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意建立的等量关系，求解即可；
（2）设，，l的方程为，联立方程组由韦达定理求得三角形的面积结合基本不等式求面积的最大值即可；
（3）求得直线AP的方程为，从而得到点M，N的坐标，则，，求解数量积证明.同理证得即可.
【小问1详解】
依题意有，，，，
因为，
则，解得，
故有，解得，，
则椭圆方程为
【小问2详解】
设，，l的方程为，
联立得，
，
由韦达定理有，，
则，
于是

令，，，时取等号，
则，故面积的最大值为
【小问3详解】
的外接圆经过点，理由如下：
直线AP的方程为，
令，则，故，
同理可得，
则，，
故有.
，
故，同理可证，
于是的外接圆经过点.