湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期一模数学试题 含解析

这是一份湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期一模数学试题 含解析，共20页。试卷主要包含了 椭圆具有光学性质等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 对于数据 ，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数为 5 B. 众数为 6
C. 极差为 10 D. 中位数为 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数，众数，极差，中位数的意义计算可判断每个选项的正误.
【详解】平均数为 ，故 A 正确；众数为 6，故 B 正确；
极差为 ，故 C 正确；数据 的中位数为 5，故 D 错误.
故选：D.
2. 已知集合 ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合 ，再根据交集定义列式计算即可.
【详解】集合 ，因此 .
故选：C.
3. 若 ，则（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定出 的范围，从而可求得答案
【详解】因为 ，
所以 为第一象限的角，
所以 ，
故选：A
4. 已知 ，且 ，则函数 与 的图象可能是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.
【详解】由 可知， ，
故 ，故函数 与函数 的单调性相同，
故选：B.
5. 已知复数 ，满足 ，在复平面内 对应的点为 ，则点 所在区域的面积为（
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）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对 化简，然后可得 和 分别表示以 为圆心，1 和 2 为半径
的圆，从而可求出点 所在区域的面积为圆环的面积.
【详解】因为 ，
所以 表示以 为圆心，1 为半径的圆，
表示以 为圆心，2 为半径的圆，
因此由 ，得点 所在区域的面积为 .
故选：C
6. 已知菱形 的边长为 是 的中点， 与 相交于点 ，则
（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，从而用 、 作为基底表示出 ，再根据
数量积 定义及运算律计算可得.
【详解】因为 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故
.
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故选：B
7. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如
图）.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与椭圆 交于点 ，
过点 作椭圆的切线 ，点 关于 的对称点为 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的光学性质，结合光的反射定律三角形面积公式求得 ，再利
用椭圆的定义，借助勾股定理理建立方程求解.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得 三点共线，
由 与 关于直线 对称，得 ，
则 ，解得 ，
，
于是 ，即 ， ，
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因此 ，所以椭圆 的离心率 .
故选：D
8. 函数 的 阶导就是对函数 求 次导数，记作 ，设函数 ，若关
于 的不等式 恰有一个整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的定义求得 ，令 ，利用导数研究 的单调
性，作出函数 的图象，根据直线 过定点 ，通过数形结合的方法可求解.
【详解】 ，
所以 有且仅有一个整数解，
设 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增，
当 时， 单调递减.
当 时， ；当 时， ，
，
作出函数 图象，如图所示，直线 过定点 ，
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要使不等式 恰有一个正整数解，则
解得 .
故选：C.
二､多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，至少有两项符
合题目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分）
9. 已知在首项为 1，公差为 的等差数列 中， 是等比数列 的前三项，数列 的
前 项和为 ，则（ ）
A. B.
C. 是公差为 3 的等差数列 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知求出等差数列的公差，然后分别计算分析可判断每个选项的正误．
【详解】因为 ，即 ，又 ，所以 ，
整理得 ，又因为 ，解得 ，故 A 正确；
由 得，所以 ，所以 ，故 B 正确；
所以 ，所以 是首项为 1，公差为 的等差数列，故 C 错误；
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，即 的公比为 4，故 ，故 D 正确.
故选：ABD
10. 在正三棱柱 中， 分别为 上的中点， 四点均
在球 的表面上，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 与 所成的角的余弦值为
D. 球 的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，由已知可证平面 平面 ，进而可得结论；对于 B， 在平面 内的
射影 不垂直于 可判断；对于 C，设 ，利用基底求得 可求解；
对于 D，可得球心 为 的中点，计算可判断.
【详解】对于 A，如图 1，取 的中点 ，连接 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
则平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 ，故 A 正确；
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对于 B，取 的中点 ，连接 ，如图 2，
若 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 分别为 上的中点，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又由正三棱柱 ，可得 平面 ，所以 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
但由 是正三角形，显然 不成立，故 平面 不成立，故 B 错误；
对于 C，设 ，则 ，注意到 ，
，
故 ，故 ，
因此两直线的夹角的余弦值为 ，故 C 正确；
对于 D，由题意知， 平面 ，又 平面 ，
所以 .同理 ，因为 与 均为以 为斜边的直角三角形，
则球心 为 的中点，所以球 的体积为 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 已知函数 的定义域为 ，集合
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，则（ ）.
A. 若 ，则 .
B. 若 ，且 ，则 的图象在 上存在对称轴.
C. 若 ，且 在 上单调，则 的取值范围是 .
D. 若 中恰有 3 个不同元素，则 .
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数解析式结合角的值化简计算判断 ACD，用 时举反例判断 B 选项.
【详解】 的定义域为 ，
对于 A：当 时， ，
令 得 ，所以当 时 ，与 矛盾，
所以不存在 使 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：当 时，取 ，则 ， ，
若 的图象在 上存在对称轴，则对称轴必为 ，则必有 ，
又 与 矛盾，故 B 错误，
对于 C：当 时， 的单调递增区间是 ，
则 ，故 C 正确；
对于 D：若 中有 3 个不同元素，则方程 在 上恰有 3 个不同实根， ，
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所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 ，若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由二项展开式的通项公式即可求解
【详解】 展开式的通项公式为 ,
由 ，故 的系数为
而 ，得 ，解得 .
故答案为：
13. 已知三棱锥 满足 ，且其体积为 ，若点 （正投影在 内
部）到 的距离相等，则二面角 的正弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 在底面上投影为 ，过 作 ，垂足为 D，连接 ，则 是二面角
的平面角，由体积求得棱锥的高，再结合底面内切圆半径，即可求点到底面的距离，进而求得
侧面上的高即可求解.
【详解】因为 ，所以 是以 为斜边的直角三角形.
由三棱锥体积公式 得三棱锥高 ，
由点 到 的距离相等得出点 在底面上投影 到 各边距离也相等，
所以 是 的内心，则 到 各边距离为内切圆半径，
过 作 ，垂足为 D，连接 ，则 是二面角 的平面角，
因为底面为直角三角形，所以内切圆的半径为 .
则三棱锥侧面上的高为 ，
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则 .
故二面角 的正弦值为 .
故答案为： .
14. 已知动直线 与圆 相切，并与圆 相交于点 ，点 为抛物线
上一动点， 为坐标原点，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 线 段 的 中 点 为 ， 设 ， 则 点 在 圆 ， 根 据
，进而计算可求得 的取值范围.
【详解】设线段 的中点为 ，根据圆的对称性可知点 在圆 上，
设 ，则 点在圆 上，即圆 ，
圆心为 ，半径为 ，
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则 ，
当且仅当点 在线段 上时，等号成立，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
注意到 ，故 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
故 .因此 的取值范围是 .
故答案为： .
四､解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在多面体 中，已知 ，且平面 与平
面 均垂直于平面 为 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，证明四边形 为平行四边形即可得证 ；
（2）建立空间直角坐标系，运用法向量求解即可.
【小问 1 详解】
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如图，分别取 的中点 ，连接 ，
因为 ，故 ，又平面 平面 ，且平面 平面 ，
因此 平面 ，
同理可知， 平面 ，
因此 且 ，故四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 且与平面 垂直的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐
标系，
由题意知， ，
，
所以 .
设平面 的法向量为 ，
则有 即
令 ，则 ，即平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
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即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
16. 海岸上建有相距 海里的雷达站 C，D，某一时刻接到海上 B 船因动力故障发出的求救信号后，调
配附近的 A 船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为
.
（1）救援出发时，A 船距离雷达站 C 距离为多少？
（2）求 之间的距离，并判断若 A 船以 30 海里每小时的速度前往 B 处，能否在 3 小时内赶到救援（说
明理由）？
【答案】（1）120 海里
（2） ，能在 3 小时内赶到救援，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在 中，求出 ， ，利用正弦定理求解即可.
（2）在 中，由正弦定理可得 ，在 中，由余弦定理可得 ，比较时间
即可判断.
【小问 1 详解】
在 中，因为 ， ，
所以 ， ，
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又 ，所以由正弦定理可得 ，即 ，解得 ，
所以 A 船距离雷达站 C 距离为 120 海里；
【小问 2 详解】
在 中，根据正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
解得 ，
因为 A 船以 30 海里每小时的速度前往 B 处，而 ，
所以能在 3 小时内赶到救援.
17. 甲、乙两人进行 知识问答抢答赛，比赛共有 3 道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始
甲、乙双方均为 0 分，答对一题得 1 分，答错一题得 分，未抢到题得 0 分，最后累计总分多的人获胜.假
设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为 和 .求：
（1）在 3 题均被乙抢到 条件下，设乙答题得分为 ，求 的分布列和期望值；
（2）甲在比赛中获胜的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知 的所有可能取值为 ，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望；
（2）设甲获胜为事件 ，甲在比赛中共抢到 道题为事件 ，由
计算求解即可.
【小问 1 详解】
依题意， 的所有可能取值为 ，
则 ，
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，
故分布列为
1 3
.
【小问 2 详解】
设甲获胜为事件 ，甲在比赛中共抢到 道题为事件 ，
则 ，
，
，
所以 .
18. 已知等轴双曲线 ，过 作斜率为 的直线 ，与双曲线 分别交于 两点，
当 时， .
（1）求双曲线 的方程；
（2）若 与双曲线 的上、下两支相交，点 ，直线 分别与双曲线 的上支交于 两
点.
（i）求直线 斜率 的取值范围；
（ii）设 和 的面积分别为 ，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii） 或 .
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【解析】
【分析】（1）由题意知直线 为 ，再由 列式计算即可；
（2）（i）设 ，直线 ，直线与曲线联立方程结合韦达定理求解即可；（ii
）设直线 ，其中 ，直线与曲线联立方程结合韦达定理表示出 ，结合（i）及
化简求解即可.
【小问 1 详解】
当 时，此时直线 为 ，代入双曲线可得， ，从而 ，
因此 ，解得 ，故双曲线方程为 .
【小问 2 详解】
（i）依题意，直线 的斜率存在，设 ，不妨与上支交于点 ，直线 ，
联立 得 ，则 ，
，
注意到直线 与上，下两支交于 两点，故 ，即 .
注意到 与双曲线上支交于两点，因此 ，即 ，即 ，
即 ，因此 ，
故 ，即斜率 的取值范围是 .
（ii）设直线 ，其中 ，
联立 得 ，
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则 ，
则 ，同理 ，
则 ，
由（i）可知， ，
则 ，
即 ，
得 ，故 ，解得
从而 的方程为 或 .
19. 已知函数 .
（1）求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 时， 恒成立，求正实数 的取值范围；
（3）当 时，若正实数 满足 ，求证： .
【答案】（1）
（2）
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（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求切线方程即可；
（ 2） 对 分 类 讨 论 ， 当 时 ， 设 ， 二 次 求 导 得
，再对 分情况讨论，然后求解即可；
（3）根据题意得出当 且 时， ，又当 时， 在 单
调递增. 设 ，其中 ，且 ，然后证明即可.
【小问 1 详解】
由 得 ，又 ，则 ，
故切线方程为 .
【小问 2 详解】
由 ，当 时，则 ；
当 时，此时 ，故 ；
当 时，设 ， ，令
则 ，
若 ，则 单调递增， ，因此 单调递增，
故 ，符合题意；
若 ，令 ，即 ，
此时， 在 上单调递增，在 上单调递减，因此 .
而 ，设 为 的零点，注意到 单调递增，
当 时，此时 ，故 ，从而 单调递增，故 ，符合题意；
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当 时，则存在 ，使得 ，且 在 上单调递增，在 上单调
递减，
故 ，即 ，解得 ，此时 ，即 ，因此
，
综上可知， .
【小问 3 详解】
由（2）可知，当 且 时， ，故 ，
当 时， ，令 ，则 ，其中
，故 单调递增.
设 ，其中 ，且 ，
，因此 单调递增，
从而 ，
从而可得 ，
进而可知 ，
故 .
【点睛】方法点睛：1、切线方程的求法： ，点斜式写切线方程 ；
2、 单调递增； 单调递减；
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