湖南省长沙市2024_2025学年高三数学下学期模拟试卷一含解析

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高三数学下学期模拟试卷一含解析，共21页。试卷主要包含了 已知为的一个内角，且，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合，那么集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可.
【详解】因为,所以,
故选：A.
2. 已知（为虚数单位)，则（ ）
A. 2B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而求得，得到答案.
【详解】由复数，可得，所以.
故选：B.
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶性和的正负，排除错误选项，得到正确选项.
【详解】的定义域是，
因为，所以是奇函数，排除CD，
因为，排除B，
故选：A.
4. 已知为的一个内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和正切公式求出的值，进而得出为钝角，再结合常数“1”的代换和齐次式弦化切即可计算求解.
【详解】由题意得，因此为钝角，
所以.
故选：D.
5. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求.
【详解】由抛物线的定义知，又，
所以为等边三角形， 为准线与轴的交点)，
抛物线的焦点，准线，，
故 故.
故选：C
6. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.
【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，
则，
所以.
故选：D.
7. 已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5，
从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法，
要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类：
若两数中不含5，不同的选法有种；
若两数中含5，则不同的选法有种，
所以共有种不同的选法，所以概率为
故选：B.
8. 设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）.
A. ω(10)=2.
B. ω(16n+5)=ω(4n+3).
C. ω(8n+5)=ω(4n+5).
D. 若n23=CF，
根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设方程为x2a2+y2b2=1a>b>0)，则，，所以，
所以点的轨迹的方程为
【小问2详解】
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，
将直线的方程代入椭圆 ，整理得，
Δ=4t2m2-4t2+4m2-4=16t2+4-m2>0，
所以，，
则，
，
由得，又由椭圆方程可知，即 ，
所以，即，
即，
即，
所以，解得或 (舍去，此时过点)，
所以直线过定点，
所以，，
此时，，
所以
，
因为，则，
所以当时取得最大值，所以的最大值为.
18. 已知函数
（1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设是的两个极值点，证明：
(i)
(ii)
【答案】（1）
（2）(i)证明见解析；(ii)证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题可知，对恒成立，参变分离后，利用导数求函数最值即可；
（2）(i)由题可得是方程的两根，即，且，令，得，问题转化为证明，构造函数利用导数证明；(ii)先利用导数证明，，可得与的交点横坐标为，则，与的交点横坐标为，则，由此得证.
【小问1详解】
的定义域为，
依题可知对恒成立，即，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，故；
【小问2详解】
(i)令，即，由题知是方程的两根，
又时，，由（1）得，
此时，
令，则，
即，
要证，即证，即证，
构造，则，
故在上递增，，
，原问题得证.
(ii)易求得的图象在处的切线方程为，
的图象在处的切线方程为，
先证，即证，
令，则，
所以在上递减，在上递增，故，得证.
再证，即证，
令，则，
所以在上递减，在上递增，故，得证.
易知与的交点横坐标为，
令与的交点横坐标为，则，
令与的交点横坐标为，则，
故.
19. 给定实数，对于正整数，设数列满足每一项取1的概率为，取0的概率为 ，且各项取值相互独立.如果数列中的0将数列分成（项、项、…、项 ）全为1 的连续段，则记 ，特别地，定义 ，例如，时，.
（1）时，记随机变量 求 的概率.
（2）对于数列，定义 为：若 ，则它是最大的正整数 ，使 ；若 ，则它为0，例如， 时，.
（i）时，求随机变量 的分布及数学期望；
（ii）求随机变量 的数学期望.
（3）当 时，求随机变量 的数学期望.
【答案】（1）
（2）（i）分布见解析，数学期望为；（ii）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过枚举法可列出四种情况，进而求出概率；
（2）（i），可以取的值有0，1，2，3，求出对应的概率，进而可根据数学期望公式求出期望的值；对于（2）中的（ii），先列出的求和表达式，然后利用错位相减求出和，进而得出;根据最后一项取值分情况讨论，得出的递推关系，再由时的值，通过累加法求出.
【小问1详解】
时， 或者 ,
或者或者 .
此时 .
【小问2详解】
（i）枚举 共8种情况，可知的可能取值为0，1，2，3，可求得的分布列如下：
故 、
（ii）法1:有，，
对，若，则 .
故 .
因此.

法2:若，则 ；
若，则，
因此，若记表示，，则满足.
从而 ，故 ，
则 ， 故 .
【小问3详解】
记 则 ，由（2）(ii)知 .
若 则 ；
若 则 .
因此.
得 ，
因此对，
，
代入 ，得 当时， 也满足该式，
故.
0
1
2
3